文章标题：There’s more to mathematics than rigour and proofs 出版位置：What's new 原文作者：Terence Chi-Shen Tao URL: https://url.klwang.tw/m2udp6y 好读连结：https://www.klwang.tw/wordpress/archives/9793 每个重要的银河文化都倾向经历三个不同且明显的阶段，也就是生存、 质疑和世故，又名如何、为何和何处的三阶段。比方说，第一阶段最重 要的问题是：我们要如何弄吃的？第二阶段的问题是：我们为何要吃？ 第三阶段则是：我们去何处吃午餐？ 道格拉斯‧亚当斯 《银河便车指南》 数学教育大致可以分为三个阶段： 1. 严谨前：基於示例以非正式但直观的模糊又过度表达方式教授。好比微积分通常先从 斜率、面积与变化量等面向开始说明，着重於计算而非理论。这个阶段一般会持续到 大学生涯的前期。 2. 严谨：为了「正确地」处理数学，需要学习精确且正式的方式。例如引进 epsilon--delta 来重新理解微积分。此时以理论为教授核心，期许学生能不经历任何 调适便能在不怎麽关注这些数学符号的具体「意义」下完成抽象操作。这个阶段大致 在大学生涯的後期至研究生生涯早期。 3. 严谨後：学生已经对所选领域的自我严谨程度感到满意，现在要重新审视与完善对该 领域的严谨直觉——得到严谨理论的强力支持。例如人们在这个阶段能够透过使用纯 量微积分、非正式但半严谨地使用无穷小量或大 O 记法等，达到能快狠准地在向量 微积分进行计算操作，并能在需要将所有此类计算转换为严谨的论证。重点是应用、 直觉与「大方向」。这个阶段通常为研究生生涯後期及其未来。 第一阶段过渡至第二阶段是众所周知的痛苦，可怖的「证明型问题」更是祸害数学系学生 的主因。另请参见《数学不仅仅是成绩、考试与方法》（Tao, 2009） 。但从第二阶段过 渡至第三阶段也同样重要，不该被人所遗忘。 知道如何严谨地思考当然是至关重要的，这给了我们避免许多常见错误与厘清众多误解的 原则。但这不幸地也会产生意想不到的後果，即「模糊」与「直观」的思维被视为「不严 谨」而弃用——如启发法、由示例得出的明智推论，或像物理学般由上下文进行类比。许 多时候人只能在正式的层面处理数学并抛弃自己的直觉，从而只能在第二阶段裹足不前。 其他暂且不说，这可能影响一个人阅读数学论文的能力。当遇到论文中的一个拼写错误或 字义存在歧异时，便会在字面意义上产生「编译错误」。（译按：通俗点说就是卡 bug， 後面完全无法阅读，直接死当。） 严谨的目的并不是要摧毁你所有直觉，而是只逐出所有的「坏直觉」，并提供清晰且「正 确」的直觉。只有结合严谨的形式主义与正确直觉才能解决复杂的数学问题，前者要求对 精密处理细节，後者要求正确看待大方向。若两者缺其一，你会两眼一黑浪费掉许多时间 ——当然，这可能让你有所启发，但非常没有效率。因此，当你一旦完全适应了严谨的数 学思维後，就该利用它来测试并完善你的直觉，决不是抛弃掉它。你可以试者问自己一些 愚蠢的问题，或是重新看看以前的那些知识。 理想的目标是你的每个启发是论证都自然而然地暗示了某个严格的论证，反之亦然。最终 你将能够同时掌握两者来解决数学问题，如同你在「现实生活」中解决问题一般。 另请参阅： o. Bill Thurston 的文章 《关於数学的证明与发展》（Thurston, 1994）； o. Henri Poincare 的 《数学中的直觉与逻辑》（原题：Intuition and logic in mathematics，为 Poincaré (1905) 中的第一部。）； o. Stephen Fry 关於类似此现象的演讲，即语言不单单只是语法与拼写 (Matthew Rogers, 2010)； o. 柯尔伯格道德发展阶段 (Lawrence Kohlberg’s stages of moral development，这大 致表明道德比习俗或社会秩序更重要) 补充 数学家在上述三阶段上仍可能在数学写作上犯了形式错误 (formal mistake)，但这些错 误的「性质」往往大不相同，取决於位於哪一阶段： 1. 严谨前：由於「无法」理解严格的数学形式主义该如何运作，盲目地仿造形式或运用启 发式方法。对於这些数学家来说，即便明确地指出错误，通常也很难理解与纠正。 2. 严谨：因为还未完善自己对於形式的理解，无法根据直觉或其他经验法则进行足够的「 SAN 值检定」来发现符号错误，或未能正确验证使用中工具所需的假设前提。但一指出 此类错误，通常可以发觉并修正。（译按：我最讨厌那种不看前提乱套定理用，讲也讲 不听的。） 3. 严谨後：通常是因他们「不再需要」形式主义而主要以直觉进行来完成高阶 (high-lev el) 数学推理，在翻译到形式数学语言时出现落差。 这三种错误类型之间的区别可能导致严谨後数学家的数学论证现象——在严谨前阶段的读 者通常会对此感到困惑——该论证在局部包含了许多拼写错误与其他形式错误，但整体来 看是相当合理的。局部错误蔓延一段时间，然後被其他局部错误抵销。相比之下，当没有 坚实的直觉确认时，严谨前或严谨数学家一旦在论证中出现错误就会无止尽的失控发散最 终留下废话。请参阅 Tao (2022) 以进一步讨论这些错误，以及如何阅读论文来弥补它。 我在 Numberphile2 (2017) 的影片中对该问题所进一步的讨论。 参考文献 Poincaré, H. (1905) La valeur de la science Tao, T. C-S. (2009) There’s more to mathematics than grades and exams and methods. What’s new. https://bit.ly/3Pxc2Pt Tao, T. C-S. (2022) On “local” and “global” errors in mathematical papers, and how to detect them. What’s new. https://bit.ly/3G4vChI Thurston, W. P. (1994) On proof and progress in mathematics. arxiv. https://arxiv.org/abs/math/9404236 Matthew Rogers. (2010) Stephen Fry Kinetic Typography – Language. Youtube. https://www.youtube.com/watch?v=J7E-aoXLZGY Numberphile2. (2017) Terry Tao and ‘Cheating Strategically’ (extra footage) – Numberphile. Youtube. https://www.youtube.com/watch?v=48Hr3CT5Tpk 真．他妈的. (2005) 银河便车指南, 道格拉斯‧亚当斯. 真．他妈的. https://vinta.ws/blog/251 -- 发文赚 P 币，养家你我有责 <3 -- [闲聊] 统计套利的配对交易策略：回顾与展望 I #1XwxemWa (Quant) II #1Xxbw-nv (Quant) III #1XxwEddS (Quant) IV #1YRZo4j9 (Quant) --

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