作者znmkhxrw (QQ)
看板ToS
標題Re: [閒聊] 開黃泉後盤面五屬珠都>=3顆的機率
時間Sun Sep 10 14:58:33 2017
※ 引述《znmkhxrw (QQ)》之銘言：
: 大家好(‧^ω^‧)
: 剛剛狂日大大問了個 TOS-MATH 問題如題
: 正常關卡(非禁珠)下開黃泉洗珠，每一屬(不含心)都≧3顆的機率是？
答案：0.544634557955
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原本認為手算就算捏爛LP也算不出來
不過在今天早上先捏一下下後，發現其實很多項可以couple在一起(‧^ω^‧)
接著再藉由計算網頁就得到許多網友跑程式的結果了
【問題】
假設全版洗盤後版面是平均分布六色珠(含自消盤面)，那五屬性各至少3顆以上機率是？
【答案】
分母 = 全部盤面 = 6^30 = 221073919720733357899776
分子 = 五屬性各至少3顆
= 全部盤面 - 至少有一屬≦2顆
= 221073919720733357899776 - 100669423178347649484640
= 120404496542385708415136
機率 = 分子/分母 = 0.544634557955
【證明】
令 S為所有盤面所成的集合
#(any set) := 此集合的元素個素
令 A 為水珠≦2顆的盤面所成的集合
A_1為水珠＝2顆的盤面所成的集合
A_2為水珠＝1顆的盤面所成的集合
A_3為水珠＝0顆的盤面所成的集合
則 A=A_1∪A_2∪A_3, 且
三者互斥(兩兩交集為空集合)
同樣的令出 B(火), C(木), D(光), E(暗)
因此我們所求的
"五屬珠至少有一屬≦2顆"
其實就是 #(A∪B∪C∪D∪E)
之後根據排容原理
#(A∪B∪C∪D∪E)
= Σ#(單一集合) - Σ#(兩兩交集) + Σ#(三三交集) - Σ#(四四交集) + Σ#(全交集)
接著觀察到
A,B,C,D,E是對稱的
因此
每個Σ內只要算一次，之後
乘上交集可能方法數即可，具體如下：
(1) Σ#(單一集合) = C(5,1) * #(A)
(2) Σ#(兩兩交集) = C(5,2) * #(A∩B)
(3) Σ#(三三交集) = C(5,3) * #(A∩B∩C)
(4) Σ#(四四交集) = C(5,4) * #(A∩B∩C∩D)
(5) Σ#(全交集) = C(5,5) * #(A∩B∩C∩D∩E)
最後，就是分別計算以下項目：(" ** "代表次方" ^ ")
(a) #(A) = #(A_1) + #(A_2) + #(A_3)
= c(30,2)*5**28+c(30,1)*5**29+5**30
(b) #(A∩B) = #(A_1∩B_1) +
#(A_1∩B_2) +
#(A_1∩B_3)
+
#(A_2∩B_1) + #(A_2∩B_2) +
#(A_2∩B_3)
+
#(A_3∩B_1) +
#(A_3∩B_2) + #(A_3∩B_3)
= c(30,4)*c(4,2)*4**26+c(30,2)*c(2,1)*4**28+4**30
+
2*[c(30,3)*c(3,2)*4**27+
c(30,2)*4**28+
c(30,1)*4**29]
【紅色部分也是簡化關鍵，因為
淺藍那兩個項一樣、
綠色一樣、
紫色一樣
】
(c) #(A∩B∩C)
= c(30,6)*c(6,2)*c(4,2)*3**24+c(30,3)*c(3,1)*c(2,1)*3**27+3**30
+
3*[ c(30,5)*c(5,2)*c(3,2)*3**25+c(30,4)*c(4,2)*3**26+c(30,2)*3**28
+c(30,2)*c(2,1)*3**28+c(30,1)*3**29
]
+
6*[c(30,3)*c(3,2)*3**27
]
(d) #(A∩B∩C∩D)
= c(30,8)*c(8,2)*c(6,2)*c(4,2)*2**22+c(30,4)*c(4,1)*c(3,1)*c(2,1)*2**26+2**30
+
4*[ c(30,7)*c(7,2)*c(5,2)*c(3,2)*2**23+c(30,6)*c(6,2)*c(4,2)*2**24
+c(30,5)*c(5,2)*c(3,1)*c(2,1)*2**25+c(30,2)*2**28
+c(30,3)*c(3,1)*c(2,1)*2**27+c(30,1)*2**29
]
+
6*[ c(30,6)*c(6,2)*c(4,2)*c(2,1)*2**24+c(30,4)*c(4,2)*2**26
+c(30,2)*c(2,1)*2**28
]
+
12*[ c(30,5)*c(5,2)*c(3,2)*2**25+c(30,4)*c(4,2)*c(2,1)*2**26
+c(30,3)*c(3,2)*2**27
]
(e) #(A∩B∩C∩D∩E)
= c(30,10)*c(10,2)*c(8,2)*c(6,2)*c(4,2)+c(30,5)*c(5,1)*c(4,1)*c(3,1)*c(2,1)+1
+
5*[ c(30,9)*c(9,2)*c(7,2)*c(5,2)*c(3,2)+c(30,8)*c(8,2)*c(6,2)*c(4,2)
+c(30,6)*c(6,2)*c(4,1)*c(3,1)*c(2,1)+c(30,2)+c(30,4)*c(4,1)*c(3,1)*c(2,1)
+c(30,1)
]
+
10*[ c(30,8)*c(8,2)*c(6,2)*c(4,2)*c(2,1)+c(30,6)*c(6,2)*c(4,2)
+c(30,7)*c(7,2)*c(5,2)*c(3,1)*c(2,1)+c(30,4)*c(4,2)
+c(30,3)*c(3,1)*c(2,1)+c(30,2)*c(2,1)
]
+
20*[c(30,7)*c(7,2)*c(5,2)*c(3,2)+c(30,5)*c(5,2)*c(3,1)*c(2,1)+c(30,3)*c(3,2)
]
+
30*[c(30,6)*c(6,2)*c(4,2)*c(2,1)+c(30,5)*c(5,2)*c(3,2)+c(30,4)*c(4,2)*c(2,1)
]
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最後一步了！藉由心算或是電腦計算即可得
#(A∪B∪C∪D∪E) = 100669423178347649484640
接著答案就是 [6^30-#(A∪B∪C∪D∪E)]/6^30
掐指一算 = 0.544634557955 (‧^ω^‧)
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說真的...按run的那瞬間好怕答案跟版友的程式解不一樣
我沒有勇氣回頭再check一次(╯°□°）╯ ~ /(_□_,,)\
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1F：→ angelio: 我不行了，樓下推 09/10 15:00
真沒擋頭
2F：推 kimisawa: 先end再推 09/10 15:00
3F：→ yorkyoung: 我也不行了，樓下幫 09/10 15:00
4F：推 sisn: 還好啦，這應該還是高中數學的範圍。 09/10 15:01
5F：→ qwe20: end 09/10 15:01
6F：推 onedozen: 看第一行答案而已，後面樓下專業的來 09/10 15:01
7F：→ MoDerF: 數學之塔 09/10 15:01
8F：→ fish000542: 浪費才能 09/10 15:04
9F：推 jj920408: 嗯嗯嗯 09/10 15:06
10F：推 swfhome: 嗯嗯嗯 我算也是這樣 09/10 15:07
11F：推 absgpc: 嗯嗯嗯，可以可以 09/10 15:08
12F：推 xeriok40364: (‧^ω^‧) 09/10 15:08
13F：推 yorkyoung: 那可以算小妹的嗎 09/10 15:08
14F：推 yoyojkjk1155: 嗯嗯 跟我想的一樣 09/10 15:09
15F：推 ashon: 我昨天就跟你說是這樣算了 09/10 15:10
16F：→ znmkhxrw: 謝謝雄吼 09/10 15:14
17F：推 kelvin1105: 跟我想的差不多 09/10 15:21
18F：噓 cha761221: 抱歉乙恩這麼專業還是得噓 09/10 15:22
19F：推 kobelake: 跟我算的差不多! 09/10 15:22
20F：推 rehearttw: 推！這就是專業！ 09/10 15:24
21F：推 s820912gmail: 認真推 09/10 15:24
22F：推 copy2345678: 小子，你真行! 09/10 15:27
23F：→ vincent81614: 喔喔 跟我算的一樣欸 不錯喔 09/10 15:28
24F：推 eternaldark: zn老師 可以用高中程度說法簡單說明嗎=3=/ 09/10 15:30
你才老濕
這是高中排組阿
25F：推 iso022000: 昨天我也是依這個邏輯想，想到排容就睡著了 讚讚 09/10 15:31
26F：推 yahooyamgoog: 跟我心算的差不多給推 09/10 15:34
27F：推 angelio: 指考出題委員：讚，有題目跟答案，明年出這題。 09/10 15:39
28F：推 pinkcircleee: 我也是這樣算的！ 09/10 15:55
※ 編輯: znmkhxrw (111.255.238.56), 09/10/2017 16:26:02
29F：推 dennishsieh: 文組豆頁疼 09/10 16:30
30F：推 ntnnthree: 摁跟我想的一樣 09/10 16:34
31F：推 wenzhong: zn回來了 09/10 16:39
32F：推 shinelusnake: 之前學測才出過神魔12宮排列 看來今年指考又有得出 09/10 16:43
33F：→ shinelusnake: 了 09/10 16:43
34F：推 chanyoung526: 趕快推個 不然別人會以為我看不懂 09/10 16:46
35F：推 rongrong421: 我推 雖然看不懂XDD 09/10 17:01
36F：推 tom51709: 趕快推個免得別人以為我不懂 09/10 17:08
37F：推 crazysun: 推 想不到我的好奇 可以釣出三篇文 09/10 17:10
38F：推 crazysun: 有一篇標題不一樣 是四篇 09/10 17:11
39F：推 wby0122: 只有我看不懂嗎 09/10 17:13
40F：推 passbyks: 五成機率解五屬強化 看在有奶的份上沒問題 09/10 17:25
41F：推 tsuduki: ∩_∩ 09/10 17:26
42F：推 ilsr: 嗯嗯，很合理～(嚼 09/10 17:37
43F：推 feyhs: 不是zn 不寫論文 09/10 17:45
44F：→ feyhs: 若是zn 就是能 長篇大論 09/10 17:45
45F：推 Galiburn: 恩，跟我想的一樣 09/10 17:46
46F：推 slightbluesk: 庭院深深深幾許 09/10 18:17
47F：推 a3225737: 恩恩 跟我想得差不多 09/10 18:23
48F：推 arcslam: 推個 09/10 19:11
49F：推 card: 專業給推~ 09/10 19:12
50F：推 Abysslol: 真的是高中排組概念 但是數字很大會哭就是 09/10 19:17
51F：推 teddybear221: 這篇可以寫論文了 太狂啦~ 09/10 19:32
52F：推 cloudxyz: 我排容想兩步就放棄了，你居然真的算！ 09/10 19:35
老實說我算到#(A∩B)後 還沒觀察到有些項相等時 這個有9項
但是如果繼續算下去
#(A∩B∩C) 有27項
#(A∩B∩C∩D) 有81項
#(A∩B∩C∩D∩E) 有243項 乾你老師
還好藉由對稱性發現其實這243項有可以分成1個 5個 10個 20個 30個
※ 編輯: znmkhxrw (111.255.238.56), 09/10/2017 19:44:00
53F：推 amigo30143: ZN有補充文章長度我就推XD 09/10 21:28
54F：推 XSperanza: 看不懂就是要推! 09/10 23:40
55F：推 ARTCOM: 看不懂路過推== 09/11 00:00
56F：推 crazysun: 推 ~~ 09/11 00:43
57F：推 blackkingk: 快推，免得被說看不懂 :P 09/11 01:12
58F：推 kivenbeach: 我只會算AUC還是推個 09/11 01:33
59F：推 wind1729: 其實有想過 只是沒有勇氣把他算出來 09/11 03:24
60F：噓 gino928: 喔。啊不就好棒棒 09/11 04:51
61F：推 omyg0d2007: 推 但是我看不懂XD 09/11 10:34
62F：推 M013: 文組崩潰☺ 09/11 13:15
63F：推 hedes: 還好第一行就有結論XD 09/11 13:55
64F：推 lkjhgfdsa681: 這太厲害不推不行 09/15 17:28