你這篇文章對哥德爾不完備定理有很大的誤解 我挑幾個來講 「 哥德爾的證明核心就是沿用「說謊者悖論」的概念，只不過他把「真假」換 成了「能不能被證明」然後試圖在任何的公設內證明「這句話不能被證明」這句話。 」 不對，不是任何的公設內都可以有"這句話不能被證明" Gödel–Rosser 第一不完備定理說的是： 任何形式化系統，若系統是一致的，且公理集合(的哥德爾編碼)為遞迴 可枚舉集合(recursively enumerable set)，只要公理集合蘊含皮亞諾算術 公理，就可以在其中構造在體系中既不能證明也不能否證的命題。 哥德爾不完備定理使用要有條件的， 1)首先必須是相容的，或是擁有omega一致。 2)接下來，必須對公理集合作可計算理論的限制，像是公理集合(經過哥德 爾編碼後)是primitive recursive set，或是recursive set，或是 recursively enumerable set。哥德爾1931年的論文用的是前者，你參考現 代邏輯教科書，條件大多數是後兩者。 3)最重要的是，哥德爾不完備定理必須限制在算術系統，而且必須包含加法 或乘法。不一定是要完整的皮雅諾算術，但至少要能捕捉primitive recursive function，例如Robinson arithmetic(又稱為系統Q)。 這是比較老的版本， 今年剛過世的波蘭計算理論專家Andrzej Grzegorczyk 在2005年給了一篇有趣的論文 Undecidability without arithmetization 不完備定理可以建立在字串的連接運算上(theory of concatenation) 而不需要算術(arithmetic) 但不是你隨便給一個公設系統，就會導致不完備。 舉個例子，一階實閉域理論 (first order theory of real closed fids) 不但是完備的 而且還是可判定的。 「 而當人們還在糾結於如何處理悖論的時候，大家都知道但是幾乎大家都不知 道的「哥德爾不完備定理」出現了!! 它宣告徹底解決悖論是不可能的事情。 」 不完備定理並沒有說 "徹底解決悖論是不可能事情"， 20世紀初，許多數學家和邏輯學家致力於解決許多paradox 例如集合論中的Burali-Forti paradox等等 最後邏輯學加提出了ZF集合論、Quine的新基礎集合論 等等集合論系統處理掉這些悖論. 不完備定理只是告訴我們在某些條件下的形式化算術 必定有它證明論能力上的限制，同時他也斷言在這些條件限制下 算術非標準模型的存在性(existence of non-standard models of arithmetic） 誠然，不完備定理的哲學蘊含到今天仍是爭論不休 但是很確定的是，你這些敘述是完全謬誤的。 --

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