你这篇文章对哥德尔不完备定理有很大的误解 我挑几个来讲 「 哥德尔的证明核心就是沿用「说谎者悖论」的概念，只不过他把「真假」换 成了「能不能被证明」然後试图在任何的公设内证明「这句话不能被证明」这句话。 」 不对，不是任何的公设内都可以有"这句话不能被证明" Gödel–Rosser 第一不完备定理说的是： 任何形式化系统，若系统是一致的，且公理集合(的哥德尔编码)为递回 可枚举集合(recursively enumerable set)，只要公理集合蕴含皮亚诺算术 公理，就可以在其中构造在体系中既不能证明也不能否证的命题。 哥德尔不完备定理使用要有条件的， 1)首先必须是相容的，或是拥有omega一致。 2)接下来，必须对公理集合作可计算理论的限制，像是公理集合(经过哥德 尔编码後)是primitive recursive set，或是recursive set，或是 recursively enumerable set。哥德尔1931年的论文用的是前者，你参考现 代逻辑教科书，条件大多数是後两者。 3)最重要的是，哥德尔不完备定理必须限制在算术系统，而且必须包含加法 或乘法。不一定是要完整的皮雅诺算术，但至少要能捕捉primitive recursive function，例如Robinson arithmetic(又称为系统Q)。 这是比较老的版本， 今年刚过世的波兰计算理论专家Andrzej Grzegorczyk 在2005年给了一篇有趣的论文 Undecidability without arithmetization 不完备定理可以建立在字串的连接运算上(theory of concatenation) 而不需要算术(arithmetic) 但不是你随便给一个公设系统，就会导致不完备。 举个例子，一阶实闭域理论 (first order theory of real closed fids) 不但是完备的 而且还是可判定的。 「 而当人们还在纠结於如何处理悖论的时候，大家都知道但是几乎大家都不知 道的「哥德尔不完备定理」出现了!! 它宣告彻底解决悖论是不可能的事情。 」 不完备定理并没有说 "彻底解决悖论是不可能事情"， 20世纪初，许多数学家和逻辑学家致力於解决许多paradox 例如集合论中的Burali-Forti paradox等等 最後逻辑学加提出了ZF集合论、Quine的新基础集合论 等等集合论系统处理掉这些悖论. 不完备定理只是告诉我们在某些条件下的形式化算术 必定有它证明论能力上的限制，同时他也断言在这些条件限制下 算术非标准模型的存在性(existence of non-standard models of arithmetic） 诚然，不完备定理的哲学蕴含到今天仍是争论不休 但是很确定的是，你这些叙述是完全谬误的。 --

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