※ 引述《gj942l41l4 (豔鵪鶉)》之銘言： : ※ 引述《flamerecca (werewolf)》之銘言： : : 你怎麼知道一定可以歸納到無窮？ : 你猜對了，數學歸納法不能到無窮 : 來舉個高中數學程度的例子 : a_n = 1/2^n 來証 a_n > 0 : n=1時A_1 =1/2 > 0成立 : 設n=k時a_k > 0成立 : 則n=k+1時，a_(k+1) = a_k / 2 > 0 顯然成立 (正數/正數仍為正數) : =>對於所有n，a_n>0恆成立 : 但將n拉到無窮，lim(n to infinity) 1/2^n = 0 : 正是一個數學歸納法不能推到無窮的簡單例子 : 其實我不大懂能不能歸納到無窮跟科學有沒有比哲學好的關係在哪@@ 其實這樣的論述有點問題，你把極限的概念跟集合基數的無窮混在一起。 數學歸納法的概念原則上是這樣: 假設S是一個集合(具有某種性質)，對每個S中的成員s都存在一個與s有關的命題P(s)。 如果你知道P(s)在某些S中的成員s是成立，則對所有S中的成員P(s)均成立。 我們用A來表示S的子集。我們用P(A)來表示當s屬於A時，P(s)成立。數學歸納法的精神就 在於P(A)到P(S)的過程。 集合S的基數(Cardinality)可以是可數(例如自然數整數)也可以是不可數。 自然數集合是無窮可數，但他是無窮集合。而歸納法是允許S是不可數的。 通常允許S是不可數集的歸納法我們稱為transfinite induction。 取極限是:如果(a_n)是某個賦距空間上的點列，則lim_n a_n的概念是有定義的。 自然數的歸納法中，並無涉及極限的過程。無涉及跟不能推及是兩回事。 既然不涉及，就不需要提及，更不用說"不能推及"。 應該會有某種範疇(Category)中具有某種極限的概念，讓歸納法可以推 廣到極限上。 說明:如果給一個Indexing category I,與一個category C,考慮函子 X:I-> C, 在某種範疇C中我們定義lim_I X_i或是colim_I X_i。(或是某種homotopy (co)limit) 假設P是個定義在I上的論述, P(i)對X_i成立。也許P會對lim X或colim X成立。 姑且稱P(i)-> P(lim X_i)這為某種數學歸納法。Why not? 只是不知道所有這種有定義的P會不會構成合適的範疇。 令N表示自然數所成構成的範疇: 範疇成員:自然數 態射:n-> m如果n≦m 令Sets表示集合所構成的範疇。 假設P是一個從N到對應Sets的對應。(還不知道是不是函子) 對任意的n恆有P(n)包含於P(n+1)我們就把這對應叫做數學歸納法。 此時我們知道數學歸納法成立等同於P是一個函子。XD : 這是你對數學歸納法的不了解了 : : 確定x為一的時候條件成立 : : 再確定x是n的時候條件成立的話 : 這步錯了，是直接假設k的時候成立，不是確認 : : x是n+1 條件必定成立 : 這步跟著錯，是由k時成立的假設去確認k+1時是否成立，若成立就能做結論 : 整個想法是我經由2,3步，「若n=k成立=>n=k+1成立」 : 第一步說n=1成立，所以可以推得n=2成立 : 又可以「n=2成立=>n=3成立」、「n=3成立=>n=4成立」 一直推下去 : 是一個不斷重複做三段論証的迴圈，還是回到哲學XD : 是說一個了解不深就宣稱數學歸納法超強 : 另一個連數學歸納法的做法都不清楚就說有問題 : 這樣也能戰得起來= = --

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