※ 引述《gj942l41l4 (艳鹌鹑)》之铭言： : ※ 引述《flamerecca (werewolf)》之铭言： : : 你怎麽知道一定可以归纳到无穷？ : 你猜对了，数学归纳法不能到无穷 : 来举个高中数学程度的例子 : a_n = 1/2^n 来证 a_n > 0 : n=1时A_1 =1/2 > 0成立 : 设n=k时a_k > 0成立 : 则n=k+1时，a_(k+1) = a_k / 2 > 0 显然成立 (正数/正数仍为正数) : =>对於所有n，a_n>0恒成立 : 但将n拉到无穷，lim(n to infinity) 1/2^n = 0 : 正是一个数学归纳法不能推到无穷的简单例子 : 其实我不大懂能不能归纳到无穷跟科学有没有比哲学好的关系在哪@@ 其实这样的论述有点问题，你把极限的概念跟集合基数的无穷混在一起。 数学归纳法的概念原则上是这样: 假设S是一个集合(具有某种性质)，对每个S中的成员s都存在一个与s有关的命题P(s)。 如果你知道P(s)在某些S中的成员s是成立，则对所有S中的成员P(s)均成立。 我们用A来表示S的子集。我们用P(A)来表示当s属於A时，P(s)成立。数学归纳法的精神就 在於P(A)到P(S)的过程。 集合S的基数(Cardinality)可以是可数(例如自然数整数)也可以是不可数。 自然数集合是无穷可数，但他是无穷集合。而归纳法是允许S是不可数的。 通常允许S是不可数集的归纳法我们称为transfinite induction。 取极限是:如果(a_n)是某个赋距空间上的点列，则lim_n a_n的概念是有定义的。 自然数的归纳法中，并无涉及极限的过程。无涉及跟不能推及是两回事。 既然不涉及，就不需要提及，更不用说"不能推及"。 应该会有某种范畴(Category)中具有某种极限的概念，让归纳法可以推 广到极限上。 说明:如果给一个Indexing category I,与一个category C,考虑函子 X:I-> C, 在某种范畴C中我们定义lim_I X_i或是colim_I X_i。(或是某种homotopy (co)limit) 假设P是个定义在I上的论述, P(i)对X_i成立。也许P会对lim X或colim X成立。 姑且称P(i)-> P(lim X_i)这为某种数学归纳法。Why not? 只是不知道所有这种有定义的P会不会构成合适的范畴。 令N表示自然数所成构成的范畴: 范畴成员:自然数 态射:n-> m如果n≦m 令Sets表示集合所构成的范畴。 假设P是一个从N到对应Sets的对应。(还不知道是不是函子) 对任意的n恒有P(n)包含於P(n+1)我们就把这对应叫做数学归纳法。 此时我们知道数学归纳法成立等同於P是一个函子。XD : 这是你对数学归纳法的不了解了 : : 确定x为一的时候条件成立 : : 再确定x是n的时候条件成立的话 : 这步错了，是直接假设k的时候成立，不是确认 : : x是n+1 条件必定成立 : 这步跟着错，是由k时成立的假设去确认k+1时是否成立，若成立就能做结论 : 整个想法是我经由2,3步，「若n=k成立=>n=k+1成立」 : 第一步说n=1成立，所以可以推得n=2成立 : 又可以「n=2成立=>n=3成立」、「n=3成立=>n=4成立」 一直推下去 : 是一个不断重复做三段论证的回圈，还是回到哲学XD : 是说一个了解不深就宣称数学归纳法超强 : 另一个连数学归纳法的做法都不清楚就说有问题 : 这样也能战得起来= = --

※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc) ◆ From: 132.64.26.132 ※ 编辑: herstein 来自: 132.64.26.132 (01/23 23:37)