作者dementia (妖精尾巴魔導士)
看板W-Philosophy
標題Re: [分享]科學史 (伍) 後現代數學狀況
時間Sat Jun 4 01:37:28 2011
※ 引述《Keelungman (金坷拉是新世界的神)》之銘言：
: ※ 引述《puyoyo (madhouse)》之銘言：
: : 框架內。哥德爾認為形式語言都面臨著以下困難：“一種語言中的某個句子的真理
: : 概念是不能由這一語言確定的。”[15](p.76)波蘭邏輯學家塔斯基在1933也獨立地
: : 得出這一結論
幫澄清
這不是歌德爾不完備定理
但是有關係
一般稱為"diagonal lemma"或"diagonalization lemma"
內容大致上是這樣的
在一個初階的算術語言中，對於任一個只有x是變元的式子F(x)
我們可以證明有一個這樣的句子P，P ←→ F("P")
如果我們的語言有T(x)用來代表"x是真的"
那麼考慮~T(x)
我們就會得到有一個句子P，"P ←→ ~T("P")"
: : 。立足於後現代數學語言學的視角下，我們可以清楚地看到西方傳統的邏輯化—理
: : 性化精神本質的內在缺陷。從中更可以看出哥德爾不完全性定理這一20世紀最重要
: : 的數理邏輯成果的後現代里程碑意義。更進一步看，我們認為，哥德爾不完全性定
: : 理的意義已經超出了科學認識論的範疇，而帶有了深刻的人文價值和濃厚的終極關
: : 懷意味，它顯示了人的主體性認識地位的終極性和基始性。
: 在我的理解裡面, 歌德爾不完備定理說: 在一個"夠強"*的形式語言中,
: 總是可以找到一些敘述既無法證明為真, 也無法證明為偽
不太對
應該是這樣的
總是可以找到一些敘述為真，既無法被證明是一個定理
而且其否定也無法被證明不是一個定理
: *"夠強"的意思是這個形式語言要能蘊含皮亞諾公理
: 也就是說要能建造出無窮多個自然數
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◆ From: 61.59.83.110
※ 編輯: dementia 來自: 61.59.83.110 (06/04 01:41)
1F：推 Keelungman:感謝指點! 果然還是先弄清楚再下筆比較好 :P 06/04 01:54
2F：→ dementia:不客氣 有錯只要改就好了 不是大不了的事 ^____^ 06/04 01:56
3F：推 MathTurtle:看不太懂你講的耶... 06/04 02:22
4F：→ MathTurtle:你的意思是原文中的「一種語言中的某個句子的真...」 06/04 02:23
5F：→ MathTurtle:那句話指的不是不完備定理而是對角化引理嗎? 06/04 02:23
"diagnal lemma"應該就是"對角化引理"吧
6F：→ MathTurtle:從原文的下一句話提到Tarski來猜, 好像的確是指到對角 06/04 02:39
7F：→ MathTurtle:化...所以也許你可以提一下為何對角化證明了真理概念無 06/04 02:40
8F：→ MathTurtle:法由自身語言中確定。 06/04 02:41
如果我們把T(x)視為"x是真的"
那麼我們似乎會承認P ←→ T("P")
然後再加上P ←→ ~T("P")
就會得到T("P") ←→ ~T("P")
這只要在承認古典邏輯的推論規則下就會得到
T("P") & ~T("P")
因此矛盾
如果我們拒絕矛盾
似乎就要承認T(x)和"x是真的"不同
9F：推 MathTurtle:另外就是有點看不懂Keelungman講的和你講的差別在哪裡 06/04 02:55
"定理"和"真句子"不是同一種東西
定理是以推論規則(含公設和其他定理)推出的結論
更明確地說
推論規則是"只要看到如此這般的句子，就可以寫下那樣那樣的句子"
這是機械式的操作
其中並不涉及"真"的概念
有些推論系統給我們很爛的規則
比方說可以推出矛盾
這種系統大部份人都不要
一個推論系統的規則好還是不好
通常是需要證明的
這屬於後設邏輯(meta-logic)的範圍
一般常見的標準是健全性(soundness)和完備性(completeness)
前者要求所有的定理都是真的
後者要求所有為真的都是定理
※ 編輯: dementia 來自: 61.59.83.110 (06/04 03:27)
10F：推 MathTurtle:感謝說明... :) 06/04 03:30
11F：→ MathTurtle:第一個部份應該就是指 T-axioms 會造成矛盾, 所以它不 06/04 03:31
12F：→ MathTurtle:能被等同於真理概念...解說的相當清楚... 06/04 03:31
13F：→ MathTurtle:第二個部份我的疑惑是 Keelungman 其實沒用到真概念。 06/04 03:32
14F：→ MathTurtle:他說的證明為真可以理解為provable, 而證明為假可以理 06/04 03:33
15F：→ MathTurtle:解為refutable, 再理解為其否命題可以provable, 06/04 03:33
16F：→ MathTurtle:似乎和你給的描述就差不多了。 06/04 03:34
17F：→ dementia:的確可以 也許是因為我對這領域有點接觸 比較挑剔罷了 XD 06/04 03:36
18F：推 MathTurtle:結果他刪文了... 06/04 03:38
19F：→ MathTurtle:就我聽到的詮釋, Godel在給出不完備定理時是有刻意避 06/04 03:40
20F：→ MathTurtle:開真概念, 因為當時的真概念是形上學概念, 又在邏輯實 06/04 03:41
21F：→ dementia:阿勒 XD 06/04 03:41
22F：→ MathTurtle:証論盛形的那個年代是很有爭議的。而第一不完備定理 06/04 03:41
23F：→ MathTurtle:Godel原本的formulation當中只用到proof的概念。 06/04 03:42
24F：→ MathTurtle:只是我們現在理解它時, 多半是站在model-proof這關係上 06/04 03:44
25F：→ MathTurtle:來看, Tarski的工作帶來了很方便的角度來了解它。 06/04 03:44
26F：→ dementia:樓上這麼專業 再聊下去會不會把西哲板變邏輯板阿 XD 06/04 03:47
27F：推 MathTurtle:也無妨...邏輯版都是些益智問題和電路問題... XD 06/04 03:48
28F：→ dementia:我愛睏 明天再聊 先晚安 (揮手 06/04 03:49
29F：→ dementia:我對歷史不熟 M大知道當時的人怎麼理解不完備性定理嗎?? 06/04 14:38
30F：→ MathTurtle:其實我也不清楚...1930年代對我而言像是一個謎一樣 06/04 14:58
31F：→ MathTurtle:只知道當時邏輯實証論正盛行, 然後Tarski開始他的形式 06/04 14:58
32F：→ MathTurtle:語義的工作, 哲學界似乎要到1950年之後才有比較精采的 06/04 14:59
33F：→ MathTurtle:發展, 也就是當哲學家開始對邏輯實証論感到不滿意時... 06/04 15:00
34F：推 onlypower:雖然邏輯我接觸的很少，但很謝謝兩位的分享。 06/04 19:33
35F：推 onlypower:現在只記得理髮師悖論算是哥德爾定理的一種簡易的理解方 06/04 19:40
36F：→ onlypower:式而已。不過，這條定理大概也是被哲學家們誤解最嚴重的 06/04 19:41
37F：→ onlypower:的數學定理之一。另一個常被哲學家誤解的，應該算是 06/04 19:43
38F：→ onlypower:海森堡的測不準定理吧。 06/04 19:43
39F：推 onlypower:不知道兩位可不可以簡易地說明一下哥德爾定理呢?最好用 06/04 19:45
40F：→ onlypower:像我這種數理低能的人都可以較易理解的方式? 06/04 19:46
41F：→ dementia:說...說來話長 讓我想一下有什麼比較簡短的說法吧 XD 06/04 22:12