作者dementia (妖精尾巴魔导士)
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标题Re: [分享]科学史 (伍) 後现代数学状况
时间Sat Jun 4 01:37:28 2011
※ 引述《Keelungman (金坷拉是新世界的神)》之铭言：
: ※ 引述《puyoyo (madhouse)》之铭言：
: : 框架内。哥德尔认为形式语言都面临着以下困难：“一种语言中的某个句子的真理
: : 概念是不能由这一语言确定的。”[15](p.76)波兰逻辑学家塔斯基在1933也独立地
: : 得出这一结论
帮澄清
这不是歌德尔不完备定理
但是有关系
一般称为"diagonal lemma"或"diagonalization lemma"
内容大致上是这样的
在一个初阶的算术语言中，对於任一个只有x是变元的式子F(x)
我们可以证明有一个这样的句子P，P ←→ F("P")
如果我们的语言有T(x)用来代表"x是真的"
那麽考虑~T(x)
我们就会得到有一个句子P，"P ←→ ~T("P")"
: : 。立足於後现代数学语言学的视角下，我们可以清楚地看到西方传统的逻辑化—理
: : 性化精神本质的内在缺陷。从中更可以看出哥德尔不完全性定理这一20世纪最重要
: : 的数理逻辑成果的後现代里程碑意义。更进一步看，我们认为，哥德尔不完全性定
: : 理的意义已经超出了科学认识论的范畴，而带有了深刻的人文价值和浓厚的终极关
: : 怀意味，它显示了人的主体性认识地位的终极性和基始性。
: 在我的理解里面, 歌德尔不完备定理说: 在一个"够强"*的形式语言中,
: 总是可以找到一些叙述既无法证明为真, 也无法证明为伪
不太对
应该是这样的
总是可以找到一些叙述为真，既无法被证明是一个定理
而且其否定也无法被证明不是一个定理
: *"够强"的意思是这个形式语言要能蕴含皮亚诺公理
: 也就是说要能建造出无穷多个自然数
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◆ From: 61.59.83.110
※ 编辑: dementia 来自: 61.59.83.110 (06/04 01:41)
1F：推 Keelungman:感谢指点! 果然还是先弄清楚再下笔比较好 :P 06/04 01:54
2F：→ dementia:不客气 有错只要改就好了 不是大不了的事 ^____^ 06/04 01:56
3F：推 MathTurtle:看不太懂你讲的耶... 06/04 02:22
4F：→ MathTurtle:你的意思是原文中的「一种语言中的某个句子的真...」 06/04 02:23
5F：→ MathTurtle:那句话指的不是不完备定理而是对角化引理吗? 06/04 02:23
"diagnal lemma"应该就是"对角化引理"吧
6F：→ MathTurtle:从原文的下一句话提到Tarski来猜, 好像的确是指到对角 06/04 02:39
7F：→ MathTurtle:化...所以也许你可以提一下为何对角化证明了真理概念无 06/04 02:40
8F：→ MathTurtle:法由自身语言中确定。 06/04 02:41
如果我们把T(x)视为"x是真的"
那麽我们似乎会承认P ←→ T("P")
然後再加上P ←→ ~T("P")
就会得到T("P") ←→ ~T("P")
这只要在承认古典逻辑的推论规则下就会得到
T("P") & ~T("P")
因此矛盾
如果我们拒绝矛盾
似乎就要承认T(x)和"x是真的"不同
9F：推 MathTurtle:另外就是有点看不懂Keelungman讲的和你讲的差别在哪里 06/04 02:55
"定理"和"真句子"不是同一种东西
定理是以推论规则(含公设和其他定理)推出的结论
更明确地说
推论规则是"只要看到如此这般的句子，就可以写下那样那样的句子"
这是机械式的操作
其中并不涉及"真"的概念
有些推论系统给我们很烂的规则
比方说可以推出矛盾
这种系统大部份人都不要
一个推论系统的规则好还是不好
通常是需要证明的
这属於後设逻辑(meta-logic)的范围
一般常见的标准是健全性(soundness)和完备性(completeness)
前者要求所有的定理都是真的
後者要求所有为真的都是定理
※ 编辑: dementia 来自: 61.59.83.110 (06/04 03:27)
10F：推 MathTurtle:感谢说明... :) 06/04 03:30
11F：→ MathTurtle:第一个部份应该就是指 T-axioms 会造成矛盾, 所以它不 06/04 03:31
12F：→ MathTurtle:能被等同於真理概念...解说的相当清楚... 06/04 03:31
13F：→ MathTurtle:第二个部份我的疑惑是 Keelungman 其实没用到真概念。 06/04 03:32
14F：→ MathTurtle:他说的证明为真可以理解为provable, 而证明为假可以理 06/04 03:33
15F：→ MathTurtle:解为refutable, 再理解为其否命题可以provable, 06/04 03:33
16F：→ MathTurtle:似乎和你给的描述就差不多了。 06/04 03:34
17F：→ dementia:的确可以 也许是因为我对这领域有点接触 比较挑剔罢了 XD 06/04 03:36
18F：推 MathTurtle:结果他删文了... 06/04 03:38
19F：→ MathTurtle:就我听到的诠释, Godel在给出不完备定理时是有刻意避 06/04 03:40
20F：→ MathTurtle:开真概念, 因为当时的真概念是形上学概念, 又在逻辑实 06/04 03:41
21F：→ dementia:阿勒 XD 06/04 03:41
22F：→ MathTurtle:证论盛形的那个年代是很有争议的。而第一不完备定理 06/04 03:41
23F：→ MathTurtle:Godel原本的formulation当中只用到proof的概念。 06/04 03:42
24F：→ MathTurtle:只是我们现在理解它时, 多半是站在model-proof这关系上 06/04 03:44
25F：→ MathTurtle:来看, Tarski的工作带来了很方便的角度来了解它。 06/04 03:44
26F：→ dementia:楼上这麽专业 再聊下去会不会把西哲板变逻辑板阿 XD 06/04 03:47
27F：推 MathTurtle:也无妨...逻辑版都是些益智问题和电路问题... XD 06/04 03:48
28F：→ dementia:我爱困 明天再聊 先晚安 (挥手 06/04 03:49
29F：→ dementia:我对历史不熟 M大知道当时的人怎麽理解不完备性定理吗?? 06/04 14:38
30F：→ MathTurtle:其实我也不清楚...1930年代对我而言像是一个谜一样 06/04 14:58
31F：→ MathTurtle:只知道当时逻辑实证论正盛行, 然後Tarski开始他的形式 06/04 14:58
32F：→ MathTurtle:语义的工作, 哲学界似乎要到1950年之後才有比较精采的 06/04 14:59
33F：→ MathTurtle:发展, 也就是当哲学家开始对逻辑实证论感到不满意时... 06/04 15:00
34F：推 onlypower:虽然逻辑我接触的很少，但很谢谢两位的分享。 06/04 19:33
35F：推 onlypower:现在只记得理发师悖论算是哥德尔定理的一种简易的理解方 06/04 19:40
36F：→ onlypower:式而已。不过，这条定理大概也是被哲学家们误解最严重的 06/04 19:41
37F：→ onlypower:的数学定理之一。另一个常被哲学家误解的，应该算是 06/04 19:43
38F：→ onlypower:海森堡的测不准定理吧。 06/04 19:43
39F：推 onlypower:不知道两位可不可以简易地说明一下哥德尔定理呢?最好用 06/04 19:45
40F：→ onlypower:像我这种数理低能的人都可以较易理解的方式? 06/04 19:46
41F：→ dementia:说...说来话长 让我想一下有什麽比较简短的说法吧 XD 06/04 22:12