好啦，就讓我們從三角形說起吧！ 先講一種特殊的三角形，叫作正三角形， 正三角形的定義是三邊等長，如何畫出三邊嚴格等長的三角形呢？ 因為多多少少都有誤差，再怎麼精確，精度也只能到「墨水分子的寬度」而已。 所以真實世界沒有人畫得出來正三角形。 (中學的幾何作圖課程手有發抖過的請舉手吧) 所以我敢說，從古到今，沒有人見過正三角形。 再來講一般三角形的定義，也就是所有由三個邊構成的封閉圖形，都是三角形。 1.與上例類似，因為沒有人畫得出嚴格的直線，所以沒有人看過真正的三角形 2.真實世界沒有真正的三角形，請拿出你國中用的三角板， 仔細撫摸它的三個端點，你會發現，這些端點並非真的沒有寬度。 就算給師傅磨到和武士刀的刃一樣寬，也差不多有十個原子寬，大約是數十奈米。 三角板三個頂角上，數十奈米寬的邊算進去，其實你的三角板是六邊形。 3.用相反的方式講 2.，如果把你的三角板的其中一個角，一次只切去很小的一點點， 要切到多大，你的視覺開始告訴你它是四邊型而不是三角形？逆推這個過程， 三角板的頂點只要窄到一個程度，我們便大致滿意它是個三角形， 但這是你的眼睛的解析度有限，在感官層次就幫你把不重要的細節化約掉了。 現代心理學與認知科學研究發現，視覺受器底部的神經，就初步處理過影像， 才送到大腦。所以抽象作用從感官層就已經開始了， 古典的知識論還沒改寫到可以和這個事實接軌。 4.至於為何我們會有三角形的認識？要先從一個隱含的定義說起， 我們透過反省會發現，我們所認知的純粹三角，三個頂角是沒有寬度的"點"所構成， 點的概念的形成，至少可以追溯到比先蘇時期的原子論早一些， 因為原子論是反對物質可以無限分割的， 可見更早的思想家已經有"無限小的點"的概念。 無限小的點在現實之中「沒有參照」，但這個概念的直接性和單純性，讓我敢猜測， 它是經由簡單的邏輯推論而來。 有了定義無限小的點、絕對直的線這種概念的能力， 可以說是為後來的希臘發展純理論的幾何學，奠定了不可或缺的基礎之一。 而幾何學，在我認為，它正是最早有系統的，完全抽離真實(與感官經驗)的一門學問。 因此幾何學雖然在真實之中有頗多應用， 但它發現了更多當時還沒被經驗到的幾何性質。 這些發現誠然比經驗更先一步，但就如同 fw190a 說的： "雖然幾何裡的設定是先驗的，不須經驗佐證， 但是沒有經驗的話，人有可能發展出幾何嗎?" 希臘的數學家是在尺規作圖的經驗中，發現出為數可觀的幾何定理。 如果沒有製圖工具的演進，以及幾何學家操作尺規的經驗，使尺規作業標準化， 這些先於實際經驗的、抽象於實際經驗之上的定理，也不會被發現。 5.再論點與線的問題，點與線(還有圓弧)的抽象/純粹概念， 聯繫起我們對真實世界可以見到的「不嚴格的」幾何圖形的知識， 進一步聯繫起幾何學。 進一步深究，點與線雖然是純粹概念，卻不是先天概念。它是從工具的改善當中得來。 更利的刀切割黏土等建材，足以啟發一個工匠思考：如果刀子夠利，我可以把材料 無止境的分割下去。為了做出更直的尺，把兩塊石板互磨， 就會得到兩面接近完美平面的覘板。把尺直立於上面打磨，便可以校準出更直的尺。 足以啟發一個工匠思考：如果覘板打磨得夠細，可以磨出完美直線的尺。 這個工匠極可能就是最早的幾何學家之一。 人有能力靠著已知的趨勢，想像出各種完美的概念，這是一種抽象能力。 這種能力卻並不特別只在人面對哪一種特定的知識，或者事物才展現， 這種制定改進方向，以及從經驗到的事物抽出"完美"的能力， 或許正是休謨「先驗知識不過是觀念之間的關係」所指涉的。 因為這種關係，指出的是一種超越經驗的趨向──若我如是精進，將臻於完美。 (哇賽，尼采都快要顯靈了) 所以我認為 Augusta "五感就是經驗"(如果意思是兩者相等)的聲稱是錯的、過時的， 人從五感(視覺、聽覺、嗅覺、味覺和觸壓)得自真實世界的經驗， 而反省出抽象概念時，他也在經驗，只是他經驗的是自身的思維。 這並不是我的創見，笛卡兒的理性主義根植在「我感覺/經驗到我在思考」。 這似乎也是一種感官，用於感受思維，我並不知道它有沒有恰當的名字， 但顯然它不是五感的一種，也顯然如果人沒有這種感官，將無法意識到自己的存在。 所以親愛的 Augusta， 今天我有沒有證明我對哲學史、科學史、數學史是很重視的，並且還可以臭蓋幾句呢？ --

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