好啦，就让我们从三角形说起吧！ 先讲一种特殊的三角形，叫作正三角形， 正三角形的定义是三边等长，如何画出三边严格等长的三角形呢？ 因为多多少少都有误差，再怎麽精确，精度也只能到「墨水分子的宽度」而已。 所以真实世界没有人画得出来正三角形。 (中学的几何作图课程手有发抖过的请举手吧) 所以我敢说，从古到今，没有人见过正三角形。 再来讲一般三角形的定义，也就是所有由三个边构成的封闭图形，都是三角形。 1.与上例类似，因为没有人画得出严格的直线，所以没有人看过真正的三角形 2.真实世界没有真正的三角形，请拿出你国中用的三角板， 仔细抚摸它的三个端点，你会发现，这些端点并非真的没有宽度。 就算给师傅磨到和武士刀的刃一样宽，也差不多有十个原子宽，大约是数十奈米。 三角板三个顶角上，数十奈米宽的边算进去，其实你的三角板是六边形。 3.用相反的方式讲 2.，如果把你的三角板的其中一个角，一次只切去很小的一点点， 要切到多大，你的视觉开始告诉你它是四边型而不是三角形？逆推这个过程， 三角板的顶点只要窄到一个程度，我们便大致满意它是个三角形， 但这是你的眼睛的解析度有限，在感官层次就帮你把不重要的细节化约掉了。 现代心理学与认知科学研究发现，视觉受器底部的神经，就初步处理过影像， 才送到大脑。所以抽象作用从感官层就已经开始了， 古典的知识论还没改写到可以和这个事实接轨。 4.至於为何我们会有三角形的认识？要先从一个隐含的定义说起， 我们透过反省会发现，我们所认知的纯粹三角，三个顶角是没有宽度的"点"所构成， 点的概念的形成，至少可以追溯到比先苏时期的原子论早一些， 因为原子论是反对物质可以无限分割的， 可见更早的思想家已经有"无限小的点"的概念。 无限小的点在现实之中「没有参照」，但这个概念的直接性和单纯性，让我敢猜测， 它是经由简单的逻辑推论而来。 有了定义无限小的点、绝对直的线这种概念的能力， 可以说是为後来的希腊发展纯理论的几何学，奠定了不可或缺的基础之一。 而几何学，在我认为，它正是最早有系统的，完全抽离真实(与感官经验)的一门学问。 因此几何学虽然在真实之中有颇多应用， 但它发现了更多当时还没被经验到的几何性质。 这些发现诚然比经验更先一步，但就如同 fw190a 说的： "虽然几何里的设定是先验的，不须经验佐证， 但是没有经验的话，人有可能发展出几何吗?" 希腊的数学家是在尺规作图的经验中，发现出为数可观的几何定理。 如果没有制图工具的演进，以及几何学家操作尺规的经验，使尺规作业标准化， 这些先於实际经验的、抽象於实际经验之上的定理，也不会被发现。 5.再论点与线的问题，点与线(还有圆弧)的抽象/纯粹概念， 联系起我们对真实世界可以见到的「不严格的」几何图形的知识， 进一步联系起几何学。 进一步深究，点与线虽然是纯粹概念，却不是先天概念。它是从工具的改善当中得来。 更利的刀切割黏土等建材，足以启发一个工匠思考：如果刀子够利，我可以把材料 无止境的分割下去。为了做出更直的尺，把两块石板互磨， 就会得到两面接近完美平面的觇板。把尺直立於上面打磨，便可以校准出更直的尺。 足以启发一个工匠思考：如果觇板打磨得够细，可以磨出完美直线的尺。 这个工匠极可能就是最早的几何学家之一。 人有能力靠着已知的趋势，想像出各种完美的概念，这是一种抽象能力。 这种能力却并不特别只在人面对哪一种特定的知识，或者事物才展现， 这种制定改进方向，以及从经验到的事物抽出"完美"的能力， 或许正是休谟「先验知识不过是观念之间的关系」所指涉的。 因为这种关系，指出的是一种超越经验的趋向──若我如是精进，将臻於完美。 (哇赛，尼采都快要显灵了) 所以我认为 Augusta "五感就是经验"(如果意思是两者相等)的声称是错的、过时的， 人从五感(视觉、听觉、嗅觉、味觉和触压)得自真实世界的经验， 而反省出抽象概念时，他也在经验，只是他经验的是自身的思维。 这并不是我的创见，笛卡儿的理性主义根植在「我感觉/经验到我在思考」。 这似乎也是一种感官，用於感受思维，我并不知道它有没有恰当的名字， 但显然它不是五感的一种，也显然如果人没有这种感官，将无法意识到自己的存在。 所以亲爱的 Augusta， 今天我有没有证明我对哲学史、科学史、数学史是很重视的，并且还可以臭盖几句呢？ --

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