※ 引述《MathTurtle (恩典)》之銘言： : 我對 Godel並不很熟, 所以可能會有回答錯的地方。 : 僅僅分享一些個人的看法。 : ※ 引述《realove (realove)》之銘言： : : 感謝眾高手的回答 : : 如今 仍有一個疑問 在某一期刊上見一哲學家談到哥德的時候 他說 : : There is no finite set of finite principles that serves to axiomatize : : first order arithmetic: that is, no finite set of finite principles, such that : : given any sentence in the language or arithmetic, the princicples entail : : that sentence if and only if it is true. : : (摘錄自Richard Holton, Principled Particularism) : : 請問以上說的就是在講哥德的不完備性定理嗎? : 我覺得這裡講的不是incompleteness theorem, : 而僅僅是說first order arithmetic is not finitely axiomatizable, : 意思上面有解釋, 就是我們無法只用有限條axiom就導出裡面所有的真命題。 : 而incompleteness意思是, 在系統當中, 並非所有真命題都能有證明, : 而兩者相關但不全相同。 thanks...講解很清楚..^^ 那我想問一下 let us call "first order arithmetic is not finitely axiomatizable" the thesis of un-axiomatizability 那does the incompleteness theorem logically imply the thesis of un-axiomatizability? 換句話說是不是當不完備性定理為真時 thesis of unaxiomatizability 不可能為假? 那反過來呢? does the thesis of un-axiomatizability logically imply the incompleteness theorem? 換句話說 是不是當thesis of unaximatizability為真時 不完備性定理不可能為假 (NB:ㄟ 我這裡所關心的只是兩者間的邏輯關係 而不是它們本身的真假值, 因為很顯 然地 哥德已經證明兩者都為真 講得更清楚一點 我想知道兩者間是否有strict implication) : : 上面說的意思是說 並不是所有一階算術中真的語句都可以從 : : "有限原則的有限集合"(finite set of finite principles)推導出 : : 但這似乎未排除以下兩種可能性 : : (i) 真的語句可以從無限原則(infitine or open-ended principles)的有限集合推導出 : : every true sentence in the first oder arithmetic can be derived from : : a finite set of infinite principles : : (ii)真的語句可以從有限原則的無限集合推導出 : : every true sentence in the first order arithmetic can be derived from : : an infinite set of finite principles. : : 但我所懷疑的是哥德的不完備性定理 沒有排除(i) (ii)的可能性嗎? 如果有的話 : : 我所引述的Richard Holton的那一段文字 似乎就根哥德的不完備性定理扯不上邊 : 我想是的。 : : 另外一個問題是 要證明一階邏輯系統是不完備的 就要證明有些真的語句 : : 無法從此系統推導出 : : 但我想問的是 到底是哪一個或哪一些或哪一種真語句是不能在一階邏輯系統中獲 : : 得證明壓? : 這就是它厲害的地方吧, 因為incompleteness的證明不是constructive的, : 也就是說, 它只能夠證明一定有這樣的語句, : 但是卻不能提供出任何一個確定的例子。 cityhall板友認為有 他舉的那個例子算是嗎? --

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