※ 引述《MathTurtle (恩典)》之铭言： : 我对 Godel并不很熟, 所以可能会有回答错的地方。 : 仅仅分享一些个人的看法。 : ※ 引述《realove (realove)》之铭言： : : 感谢众高手的回答 : : 如今 仍有一个疑问 在某一期刊上见一哲学家谈到哥德的时候 他说 : : There is no finite set of finite principles that serves to axiomatize : : first order arithmetic: that is, no finite set of finite principles, such that : : given any sentence in the language or arithmetic, the princicples entail : : that sentence if and only if it is true. : : (摘录自Richard Holton, Principled Particularism) : : 请问以上说的就是在讲哥德的不完备性定理吗? : 我觉得这里讲的不是incompleteness theorem, : 而仅仅是说first order arithmetic is not finitely axiomatizable, : 意思上面有解释, 就是我们无法只用有限条axiom就导出里面所有的真命题。 : 而incompleteness意思是, 在系统当中, 并非所有真命题都能有证明, : 而两者相关但不全相同。 thanks...讲解很清楚..^^ 那我想问一下 let us call "first order arithmetic is not finitely axiomatizable" the thesis of un-axiomatizability 那does the incompleteness theorem logically imply the thesis of un-axiomatizability? 换句话说是不是当不完备性定理为真时 thesis of unaxiomatizability 不可能为假? 那反过来呢? does the thesis of un-axiomatizability logically imply the incompleteness theorem? 换句话说 是不是当thesis of unaximatizability为真时 不完备性定理不可能为假 (NB:ㄟ 我这里所关心的只是两者间的逻辑关系 而不是它们本身的真假值, 因为很显 然地 哥德已经证明两者都为真 讲得更清楚一点 我想知道两者间是否有strict implication) : : 上面说的意思是说 并不是所有一阶算术中真的语句都可以从 : : "有限原则的有限集合"(finite set of finite principles)推导出 : : 但这似乎未排除以下两种可能性 : : (i) 真的语句可以从无限原则(infitine or open-ended principles)的有限集合推导出 : : every true sentence in the first oder arithmetic can be derived from : : a finite set of infinite principles : : (ii)真的语句可以从有限原则的无限集合推导出 : : every true sentence in the first order arithmetic can be derived from : : an infinite set of finite principles. : : 但我所怀疑的是哥德的不完备性定理 没有排除(i) (ii)的可能性吗? 如果有的话 : : 我所引述的Richard Holton的那一段文字 似乎就根哥德的不完备性定理扯不上边 : 我想是的。 : : 另外一个问题是 要证明一阶逻辑系统是不完备的 就要证明有些真的语句 : : 无法从此系统推导出 : : 但我想问的是 到底是哪一个或哪一些或哪一种真语句是不能在一阶逻辑系统中获 : : 得证明压? : 这就是它厉害的地方吧, 因为incompleteness的证明不是constructive的, : 也就是说, 它只能够证明一定有这样的语句, : 但是却不能提供出任何一个确定的例子。 cityhall板友认为有 他举的那个例子算是吗? --

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