我對 Godel並不很熟, 所以可能會有回答錯的地方。 僅僅分享一些個人的看法。 ※ 引述《realove (realove)》之銘言： : 感謝眾高手的回答 : 如今 仍有一個疑問 在某一期刊上見一哲學家談到哥德的時候 他說 : There is no finite set of finite principles that serves to axiomatize : first order arithmetic: that is, no finite set of finite principles, such that : given any sentence in the language or arithmetic, the princicples entail : that sentence if and only if it is true. : (摘錄自Richard Holton, Principled Particularism) : 請問以上說的就是在講哥德的不完備性定理嗎? 我覺得這裡講的不是incompleteness theorem, 而僅僅是說first order arithmetic is not finitely axiomatizable, 意思上面有解釋, 就是我們無法只用有限條axiom就導出裡面所有的真命題。 而incompleteness意思是, 在系統當中, 並非所有真命題都能有證明, 而兩者相關但不全相同。 : 上面說的意思是說 並不是所有一階算術中真的語句都可以從 : "有限原則的有限集合"(finite set of finite principles)推導出 : 但這似乎未排除以下兩種可能性 : (i) 真的語句可以從無限原則(infitine or open-ended principles)的有限集合推導出 : every true sentence in the first oder arithmetic can be derived from : a finite set of infinite principles : (ii)真的語句可以從有限原則的無限集合推導出 : every true sentence in the first order arithmetic can be derived from : an infinite set of finite principles. : 但我所懷疑的是哥德的不完備性定理 沒有排除(i) (ii)的可能性嗎? 如果有的話 : 我所引述的Richard Holton的那一段文字 似乎就根哥德的不完備性定理扯不上邊 我想是的。 : 另外一個問題是 要證明一階邏輯系統是不完備的 就要證明有些真的語句 : 無法從此系統推導出 : 但我想問的是 到底是哪一個或哪一些或哪一種真語句是不能在一階邏輯系統中獲 : 得證明壓? 這就是它厲害的地方吧, 因為incompleteness的證明不是constructive的, 也就是說, 它只能夠證明一定有這樣的語句, 但是卻不能提供出任何一個確定的例子。 : 以下是我第三個蠢問題: 一階算術的定義是啥呀? 有誰可以解答或舉幾個例子 : 來說明嗎 謝謝 呵...然後 我也想順便問一下一階邏輯的定義呢? 這個我就不敢回答了, 我猜大概是first order logic 加上 natural number吧... 而first order logic 是相較higher order logic說的, 意思是在當中不對 predicates 作 quantification, 也就是說, 你只會看到 (for all x)、(for some y)這類的, 而不會看到(for all P), (for some F)這種formula.. --

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