我对 Godel并不很熟, 所以可能会有回答错的地方。 仅仅分享一些个人的看法。 ※ 引述《realove (realove)》之铭言： : 感谢众高手的回答 : 如今 仍有一个疑问 在某一期刊上见一哲学家谈到哥德的时候 他说 : There is no finite set of finite principles that serves to axiomatize : first order arithmetic: that is, no finite set of finite principles, such that : given any sentence in the language or arithmetic, the princicples entail : that sentence if and only if it is true. : (摘录自Richard Holton, Principled Particularism) : 请问以上说的就是在讲哥德的不完备性定理吗? 我觉得这里讲的不是incompleteness theorem, 而仅仅是说first order arithmetic is not finitely axiomatizable, 意思上面有解释, 就是我们无法只用有限条axiom就导出里面所有的真命题。 而incompleteness意思是, 在系统当中, 并非所有真命题都能有证明, 而两者相关但不全相同。 : 上面说的意思是说 并不是所有一阶算术中真的语句都可以从 : "有限原则的有限集合"(finite set of finite principles)推导出 : 但这似乎未排除以下两种可能性 : (i) 真的语句可以从无限原则(infitine or open-ended principles)的有限集合推导出 : every true sentence in the first oder arithmetic can be derived from : a finite set of infinite principles : (ii)真的语句可以从有限原则的无限集合推导出 : every true sentence in the first order arithmetic can be derived from : an infinite set of finite principles. : 但我所怀疑的是哥德的不完备性定理 没有排除(i) (ii)的可能性吗? 如果有的话 : 我所引述的Richard Holton的那一段文字 似乎就根哥德的不完备性定理扯不上边 我想是的。 : 另外一个问题是 要证明一阶逻辑系统是不完备的 就要证明有些真的语句 : 无法从此系统推导出 : 但我想问的是 到底是哪一个或哪一些或哪一种真语句是不能在一阶逻辑系统中获 : 得证明压? 这就是它厉害的地方吧, 因为incompleteness的证明不是constructive的, 也就是说, 它只能够证明一定有这样的语句, 但是却不能提供出任何一个确定的例子。 : 以下是我第三个蠢问题: 一阶算术的定义是啥呀? 有谁可以解答或举几个例子 : 来说明吗 谢谢 呵...然後 我也想顺便问一下一阶逻辑的定义呢? 这个我就不敢回答了, 我猜大概是first order logic 加上 natural number吧... 而first order logic 是相较higher order logic说的, 意思是在当中不对 predicates 作 quantification, 也就是说, 你只会看到 (for all x)、(for some y)这类的, 而不会看到(for all P), (for some F)这种formula.. --

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