恩 我不是高手,不過我對邏輯有興趣 ※ 引述《realove (realove)》之銘言： : 感謝眾高手的回答 : 如今 仍有一個疑問 在某一期刊上見一哲學家談到哥德的時候 他說 : There is no finite set of finite principles that serves to axiomatize : first order arithmetic: that is, no finite set of finite principles, such that : given any sentence in the language or arithmetic, the princicples entail : that sentence if and only if it is true. : (摘錄自Richard Holton, Principled Particularism) : 請問以上說的就是在講哥德的不完備性定理嗎? : 上面說的意思是說 並不是所有一階算術中真的語句都可以從 : "有限原則的有限集合"(finite set of finite principles)推導出 : 但這似乎未排除以下兩種可能性 : (i) 真的語句可以從無限原則(infitine or open-ended principles)的有限集合推導出 : every true sentence in the first oder arithmetic can be derived from : a finite set of infinite principles 不完備定理我也不是很熟 以下是我的理解 如果有錯誤請幫忙指正 即便是無限原則的有限集合依舊無法滿足完備性的系統 所謂完備性的系統就是所有的元素都可被推導證明 那用以推導證明的基礎也就是原則 竟然不見得具備完備性! 也就是所有元素都必須可以被證明的系統 裡面有無法被證明的元素 因為即使找出了目前所有原則的原則,也是創出了另一堆待證明的非原則 無法自我消除掉 也就是說有些原則是需要靠 相信他為真他就是真而存在的 無法證明 數學理的例子就如上面的數論網頁提供的 數學歸納法 終究使用的原則性是 靠直覺認知為真 為證明的終點 (即使找到了證明原則的原則還要繼續找更基礎的原則 永遠找不完 故應該不是有限集合) 實際的例子 本身就不在應用範圍, 因為人類通常滿足於共識與知覺的解析度 而不是一鼓腦的追根究底 回到現實, 我想 法庭審案是一個類似的例子 證人要發誓 節省大家的時間 否則必須每一個證人都要追根究底的檢查他的真實度 檢查人員的真實度也要檢查.... 變成無限延伸.... 這個理論重要的是自於已經告訴大家 所有推論存在的系統都不完備 所以也不需要這麼拼想要找出個真理因為即使真理也沒有辦法被證明... 所以點到為止 就是結論 說到這裡 哲學也是很標準的不完備系統 說到最後 相信不相信 就看你啦 : (ii)真的語句可以從有限原則的無限集合推導出 : every true sentence in the first order arithmetic can be derived from : an infinite set of finite principles. 我不懂的是有限原則中如何存在無限集合呢? 且無限集合推導的實作性可行嗎? : 但我所懷疑的是哥德的不完備性定理 沒有排除(i) (ii)的可能性嗎? 如果有的話 : 我所引述的Richard Holton的那一段文字 似乎就根哥德的不完備性定理扯不上邊 Richard Holton的那一段文字 和 哥德的不完備性定理 沒有排除(i) (ii)的可能性 是交集 : 另外一個問題是 要證明一階邏輯系統是不完備的 就要證明有些真的語句 : 無法從此系統推導出 : 但我想問的是 到底是哪一個或哪一些或哪一種真語句是不能在一階邏輯系統中獲 : 得證明壓? ex: 0 存在 : 以下是我第三個蠢問題: 一階算術的定義是啥呀? 有誰可以解答或舉幾個例子 : 來說明嗎 謝謝 呵...然後 我也想順便問一下一階邏輯的定義呢? --

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