感謝眾高手的回答 如今 仍有一個疑問 在某一期刊上見一哲學家談到哥德的時候 他說 There is no finite set of finite principles that serves to axiomatize first order arithmetic: that is, no finite set of finite principles, such that given any sentence in the language or arithmetic, the princicples entail that sentence if and only if it is true. (摘錄自Richard Holton, Principled Particularism) 請問以上說的就是在講哥德的不完備性定理嗎? 上面說的意思是說 並不是所有一階算術中真的語句都可以從 "有限原則的有限集合"(finite set of finite principles)推導出 但這似乎未排除以下兩種可能性 (i) 真的語句可以從無限原則(infitine or open-ended principles)的有限集合推導出 every true sentence in the first oder arithmetic can be derived from a finite set of infinite principles (ii)真的語句可以從有限原則的無限集合推導出 every true sentence in the first order arithmetic can be derived from an infinite set of finite principles. 但我所懷疑的是哥德的不完備性定理 沒有排除(i) (ii)的可能性嗎? 如果有的話 我所引述的Richard Holton的那一段文字 似乎就根哥德的不完備性定理扯不上邊 另外一個問題是 要證明一階邏輯系統是不完備的 就要證明有些真的語句 無法從此系統推導出 但我想問的是 到底是哪一個或哪一些或哪一種真語句是不能在一階邏輯系統中獲 得證明壓? 以下是我第三個蠢問題: 一階算術的定義是啥呀? 有誰可以解答或舉幾個例子 來說明嗎 謝謝 呵...然後 我也想順便問一下一階邏輯的定義呢? --

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