※ 引述《clouddeep (獨行道)》之銘言： : ※ 引述《realove (realove)》之銘言： : : Godel's incompletness theorem大概在講什麼 : : 有人可以說一下嗎 謝~ : 一個邏輯系統不能用來證明自己成立， : 就是自己不能用來證明自己。 : -- : 有錯請指正 好像也不是錯，但似乎沒講到重點… 板上一定有高人，我先拋磚引玉吧。 羅素和懷德海合作的《數學原理》(PM)有一個很特別的目標： 希望可以用最最基本的形式邏輯公理系統，再加上整數和相繼性公理 就演繹出所有可能的數學真理，這些真理自然是以「定理」的形式表述的。 因此，這代表了某派數學哲學的想法：所謂「基礎論」，fundamentalism。 如果任何在上述系統內為真的數學定理， 都可以在此系統下被證明，那就滿足了所謂的「完備性」。 哥德爾在研究 PM 的時候，發現了羅素和懷德海的系統不能滿足完備性。 因此他就發表了那篇驚天地泣鬼神的經典文章： <Ueber formal unentscheidbare Saetze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I.> (我記得有線上英譯，用 on formally undecidable propositions 搜尋看看) 依照前述完備性的要求，哥德爾必須證明至少有一個命題在 PM 的系統裡為真 但是卻沒有辦法在 PM 系統中被證明。 他實際的證明，技術性特強，所以我當然是看不懂的； 如果你跟我一樣都沒辦法看這種東西 還是可以花點時間讀一下前言和結論(沒符號的部分) 因為這樣大概就可以知道他的基本想法： 想辦法構造出 (比方說) 這樣一個命題： 命題 G：命題 G 是不可證明的 如果 PM 可以證明命題 G，那命題 G 就是假的 (因為它可以證明，所以自相矛盾) 如果 PM 不能證明命題 G，那命題 G 就是真的，可是這樣子就不滿足完備性。 接下來只要說明，命題 G 和 PM 的系統相一致，因此為真，不完備性就成立。 哥德爾一開始只是要說，PM 系統沒有滿足完備性 但後來他又 (我忘了是誰，可以看一下哥德爾那篇論文後來的附錄) 發現 任何一個「形式邏輯 + 整數及其基本特性」的系統都不能滿足完備性 不獨 PM 系統為然。這才是我們所知的哥德爾不完備性定理。 有很多問題可以繼續討論。 其中一個就是，歌德爾的不完備定理到底有什麼了不起的？ 我想最明顯的結論是， 由於「真」在這樣一個系統裡的範圍大於「可證明性」的範圍， 因此數學哲學的基礎論立場遭到了重大打擊。 此外，不完備定理在當今科學的領域裡 (特別是演算法、人工智慧等等) 也有不少有意思的應用 對此我所知甚少，只能另請高明或者你自己找書、上網研究了:P -- "I used to be indecisive but now I'm not so sure." --

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