※ 引述《clouddeep (独行道)》之铭言： : ※ 引述《realove (realove)》之铭言： : : Godel's incompletness theorem大概在讲什麽 : : 有人可以说一下吗 谢~ : 一个逻辑系统不能用来证明自己成立， : 就是自己不能用来证明自己。 : -- : 有错请指正 好像也不是错，但似乎没讲到重点… 板上一定有高人，我先抛砖引玉吧。 罗素和怀德海合作的《数学原理》(PM)有一个很特别的目标： 希望可以用最最基本的形式逻辑公理系统，再加上整数和相继性公理 就演绎出所有可能的数学真理，这些真理自然是以「定理」的形式表述的。 因此，这代表了某派数学哲学的想法：所谓「基础论」，fundamentalism。 如果任何在上述系统内为真的数学定理， 都可以在此系统下被证明，那就满足了所谓的「完备性」。 哥德尔在研究 PM 的时候，发现了罗素和怀德海的系统不能满足完备性。 因此他就发表了那篇惊天地泣鬼神的经典文章： <Ueber formal unentscheidbare Saetze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I.> (我记得有线上英译，用 on formally undecidable propositions 搜寻看看) 依照前述完备性的要求，哥德尔必须证明至少有一个命题在 PM 的系统里为真 但是却没有办法在 PM 系统中被证明。 他实际的证明，技术性特强，所以我当然是看不懂的； 如果你跟我一样都没办法看这种东西 还是可以花点时间读一下前言和结论(没符号的部分) 因为这样大概就可以知道他的基本想法： 想办法构造出 (比方说) 这样一个命题： 命题 G：命题 G 是不可证明的 如果 PM 可以证明命题 G，那命题 G 就是假的 (因为它可以证明，所以自相矛盾) 如果 PM 不能证明命题 G，那命题 G 就是真的，可是这样子就不满足完备性。 接下来只要说明，命题 G 和 PM 的系统相一致，因此为真，不完备性就成立。 哥德尔一开始只是要说，PM 系统没有满足完备性 但後来他又 (我忘了是谁，可以看一下哥德尔那篇论文後来的附录) 发现 任何一个「形式逻辑 + 整数及其基本特性」的系统都不能满足完备性 不独 PM 系统为然。这才是我们所知的哥德尔不完备性定理。 有很多问题可以继续讨论。 其中一个就是，歌德尔的不完备定理到底有什麽了不起的？ 我想最明显的结论是， 由於「真」在这样一个系统里的范围大於「可证明性」的范围， 因此数学哲学的基础论立场遭到了重大打击。 此外，不完备定理在当今科学的领域里 (特别是演算法、人工智慧等等) 也有不少有意思的应用 对此我所知甚少，只能另请高明或者你自己找书、上网研究了:P -- "I used to be indecisive but now I'm not so sure." --

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