3.對數學的影響 何謂數學?對這個問題，不同的人會有很不同的答案，但是每一個數學家所努力的，都是要 找到「證明」，從大家所接受的公理或公設出發，找出對某一個題目的證明。從希臘時代 ，就留下了許多的問題，有許多的問題，經過了數學家們的努力，我們已知道了答案，也就 是我們找到了「證明」，如所謂的幾何三大難題，而有些至今尚未解決，如「雙生質數是否 無限多？」任何一個問題，我們總是盼望找到「證明」，不論是證明它是真的，或是證明它 是假的都可以，不論是證明「雙生質數是無限多」，或是證明「雙生質數是有限的」，都將 是一個非常轟動的結果。若是找不到證明，則認為也許是自己才智不夠，或是時間尚末成熟 ，真的是如此嗎？ 1930年希伯特接受 Konigsberg 贈予榮譽市民時，發表了一個著名的演說，演說辭的最後 兩句話為 「我們必須知道，我們將會知道」(Wir mussen wissen. Wir werden wissen.) 當年希伯特的演講所灌製的唱片，現在仍然保存著，我們若仔細聽，仍依悉可聽到希伯特 講完這句話時，得意的笑聲 註3 。對著數學抱著如此的信心，相信是極大部份的數學家所共 有的，希伯特清楚且有力的表達出來，只可惜這個信心是沒有根據的，而且沒有多久，就 被證明如此樂觀的信心是錯的，因為1930年11月17日，《Monatshefte fur Mathematik und Physik》這個期刊接受了當年25歲的戈德爾所投的稿，證明了不完備定理，有些命題 是真的，但無法被證明，數學家也許有信心（事實上由不完備定理可知這個信心是無法證 實的）說：「被證明的就是真的」，但再也無法說：「真的一定會被證明。」 自戈德爾證明了不完備定理之後，許多數理邏輯學家們即努力去找一個數論中為真，但無 法用皮亞諾公設證明的敘述，花了將近半個世紀都沒有找到，因此也就有人說戈德爾所指 的「為真但無法證明」的命題，可能和真正的數學無關，即一個真正研究數學，而非研究 邏輯的數學家，將永遠不會遇到這樣的命題，不完備定理是邏輯上的一個有趣的定理，但 對數學沒有影響，所有的數學問題，如「雙生質數是否無限多？」，我們仍遲早會知道答 案。 1978年 Paris 和 Harrington 終於找到了組合學 Ramsey 理論中的一個命題，它是 真的，但無法用皮亞諾公設證明，後來其他的學者又陸續發現了許多這樣的命題，（有興 趣的讀者可參閱筆者〈數學歸納法〉一文）。對任何一個數學命題，我們當然要想法子證 明它是真的，或找反例證明它是錯的，若是都不成功的話，也許該聽聽不完備定理所給的 建議，嘗試去證明「此命題無法被證為真」，或「此命題無法被證明為假」，以往數學家 只有兩條路可走，證明是真的，或證明是假的，如今又多了兩條路，不能被證明是真的， 和不能被證明是假的。要提醒大家注意的，就是第三條和第四條路彼此並不相斥，集合論 中有名的「連續統假說」(Continuum Hypothesis)，即被證明以現有的集合論公設，無法 證明它為假（戈德爾1936年的結果），亦無法證明它為真（Paul Cohen 1963年的結果）。 4.對電腦的影響 戈德爾於193l年發表了不完備定理時，還沒有現今所謂的電腦，對於電腦如何發明的，至 今仍眾說紛紜，我們引用普林斯頓高等研究院1978-1979年度報告中所摘錄曾任美國國家科學 院副院長的 Mac Lane 的一段話：「戈德爾偉大而抽象的邏輯工作，有個令人驚異的結果 。在分析戈德爾所描述的何者可被一步步程序所得的正式方法中，年輕而聰明的英國邏輯 家圖林 (Alan Turing) 定出了這程序所得的結果，即一般遞歸函數 (general recursive functions)，這也正是一台機器所可能計算的，藉著這個分析，及其在John Von Neumann 等人身上的作用，以致現代計算機的理論觀念及分析得以開展，直至今日，對於何者可被 計算的理論描述，及至更深入的分析，我們可正確的說，仍然根植於戈德爾於1931年所發 表的數理邏輯論文中。」 [註4] 我們再舉兩個較近的例子：電腦病毒與人工智慧。對於電腦病毒，幾乎所有使用電腦的人 都遇到過，人人聞之色變，因為感覺防不勝防，事實上，的確如此。我們不時看到警告， 又有某種新的病毒出現了，然後解毒專家們再設計一個新的解毒程式來破解它，在廣告中 常看到說某種解毒程式如何如何有效，可解多少多少種病毒，腦筋動的快的人，也許會想 ，為什麼不設計一種萬靈丹？可解所有已知及未知的毒，別的不說，錢肯定是可賺得不少 ，當然也可能有些人會想設計出一種病毒是殺不死的，戈德爾不完備定理告訴我們的是， 「沒有萬靈丹」，也「沒有殺不死的病毒」，對任何解毒程式，我們皆可設計出一種病毒 ，使得這個解毒程式殺不死它，同樣對任何病毒，我們都可設計出一個解毒程式，把這個 病毒殺死。總之，不論是放毒或解毒的人，都不會沒事幹，我想這是個壞消息，也是個好 消息 [註5] 。 電腦能不能跟人腦一樣？電腦和人腦的差別在那裡？這是常被提出的問題。使電腦跟人腦 一樣，這是人工智慧學家努力的目標。英國劍橋大學的數學物理學家，亦為皇家學會的院 士 Roger Penrose 對這個問題，寫了一本出乎他自己意料之外暢銷的書《皇帝新腦》 （The Emperor's New Mind）。1990年7月2日的時代雜誌也報導了這本書，而時代雜誌用 了一個唯恐天下不亂的標題〈那些電腦都是笨蛋！〉 (Those computers are dummies)。 的確，此書一出又引起了正反雙方的論戰， Penrose 當然提出許多論證來支持他的論點 ，即人工智慧是有其限度，他最重要的論證即根據戈德爾不完備定理，事實上，這個論證 早就被提出過，另外一本使戈德爾較為人所知的書，即為得1979年普立茲獎 (Pulitzer Prize) 的書《戈德爾，艾叟，巴哈》(Godel, Escher, Bach)，作者 Hofstadter 分別以 艾叟的畫，巴哈的音樂來闡述戈德爾的定理，就像 Penrose 的書，這本書也是介紹人工 智慧，夾議科學哲學的書，Hofstadter 同樣以不完備定理說明人工智慧所會受到的限制 ，但 Hofstadter 對人工智慧的發展是樂觀的。 5.對哲學的影響 現今人類發現似乎有太多的問題無法解決，有各式各樣的「危機」，如能源危機、道德危 機、人口爆炸危機等等，而常有「無力感」，但在本世紀初期，人類展望二十世紀是充滿 了盼望與信心，當然當時也有許多問題有待解決，但面對未來大家都是樂觀的，特別是對 「理智」的信心非常強，相信憑著理智所有的問題都可解決，數學不就是個明顯的例子嗎 ？十八、十九世紀數學的成就是驚人的，如從希臘時代就留下來的所謂「幾何三大難題」 ，竟然一次就都被解決了，也難怪希伯特對科學說：「我們必須知道，我們將會知道」， 自然須交出它所有的問題，而人類必將所有的問題一一克服，所以當不完備定理一出來， 對許多人來說彷如晴天霹靂，Kline 寫了一本書，書名為《數學：確定性的失落》 (Mathematics: The Loss of Cerntainty) 很能描繪出這個心情，人們認為找到了數學的 基礎，卻發現這個基礎是海市蜃樓，而且不完備定理似乎告訴人們，我們將永遠無法找到 這個基礎，連數學這號稱最精確的科學尚且如此，其他所有的知識又如何立足呢?不完備 定理告訴我們，有些事情是真的，但我們無法證明它，若是如此，人要如何面對沒有被證 明的事？既無法全部接受，亦不該全部否決，如何決定取捨呢？這似乎是人人都可以也應 當思考的問題，而不僅僅是哲學家所必須面對的問題。 不完備定理的發現至今已超過六十年了，這個定理的重要性，不僅未隨時間、歷史背景的 改變而減退，人們在不同的領域中，正逐漸發現它的意義與影響，只可惜由於國內對邏輯 的研究者不多，至今尚沒有一本合適的中文書證明或闡明此定理，對此定理證明有興趣的 讀者可參考 H.B. Enderton 所著的《A Mathematical Introduction to Logic》。 今年亦為國內的數理邏輯的前輩劉世超博士的七十歲生日，謹以此文敬賀劉教授七十歲， 亦盼望邏輯此一領域在大家繼續的努力下，在國內能生根，開花，結果。 --

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