3.对数学的影响 何谓数学?对这个问题，不同的人会有很不同的答案，但是每一个数学家所努力的，都是要 找到「证明」，从大家所接受的公理或公设出发，找出对某一个题目的证明。从希腊时代 ，就留下了许多的问题，有许多的问题，经过了数学家们的努力，我们已知道了答案，也就 是我们找到了「证明」，如所谓的几何三大难题，而有些至今尚未解决，如「双生质数是否 无限多？」任何一个问题，我们总是盼望找到「证明」，不论是证明它是真的，或是证明它 是假的都可以，不论是证明「双生质数是无限多」，或是证明「双生质数是有限的」，都将 是一个非常轰动的结果。若是找不到证明，则认为也许是自己才智不够，或是时间尚末成熟 ，真的是如此吗？ 1930年希伯特接受 Konigsberg 赠予荣誉市民时，发表了一个着名的演说，演说辞的最後 两句话为 「我们必须知道，我们将会知道」(Wir mussen wissen. Wir werden wissen.) 当年希伯特的演讲所灌制的唱片，现在仍然保存着，我们若仔细听，仍依悉可听到希伯特 讲完这句话时，得意的笑声 注3 。对着数学抱着如此的信心，相信是极大部份的数学家所共 有的，希伯特清楚且有力的表达出来，只可惜这个信心是没有根据的，而且没有多久，就 被证明如此乐观的信心是错的，因为1930年11月17日，《Monatshefte fur Mathematik und Physik》这个期刊接受了当年25岁的戈德尔所投的稿，证明了不完备定理，有些命题 是真的，但无法被证明，数学家也许有信心（事实上由不完备定理可知这个信心是无法证 实的）说：「被证明的就是真的」，但再也无法说：「真的一定会被证明。」 自戈德尔证明了不完备定理之後，许多数理逻辑学家们即努力去找一个数论中为真，但无 法用皮亚诺公设证明的叙述，花了将近半个世纪都没有找到，因此也就有人说戈德尔所指 的「为真但无法证明」的命题，可能和真正的数学无关，即一个真正研究数学，而非研究 逻辑的数学家，将永远不会遇到这样的命题，不完备定理是逻辑上的一个有趣的定理，但 对数学没有影响，所有的数学问题，如「双生质数是否无限多？」，我们仍迟早会知道答 案。 1978年 Paris 和 Harrington 终於找到了组合学 Ramsey 理论中的一个命题，它是 真的，但无法用皮亚诺公设证明，後来其他的学者又陆续发现了许多这样的命题，（有兴 趣的读者可参阅笔者〈数学归纳法〉一文）。对任何一个数学命题，我们当然要想法子证 明它是真的，或找反例证明它是错的，若是都不成功的话，也许该听听不完备定理所给的 建议，尝试去证明「此命题无法被证为真」，或「此命题无法被证明为假」，以往数学家 只有两条路可走，证明是真的，或证明是假的，如今又多了两条路，不能被证明是真的， 和不能被证明是假的。要提醒大家注意的，就是第三条和第四条路彼此并不相斥，集合论 中有名的「连续统假说」(Continuum Hypothesis)，即被证明以现有的集合论公设，无法 证明它为假（戈德尔1936年的结果），亦无法证明它为真（Paul Cohen 1963年的结果）。 4.对电脑的影响 戈德尔於193l年发表了不完备定理时，还没有现今所谓的电脑，对於电脑如何发明的，至 今仍众说纷纭，我们引用普林斯顿高等研究院1978-1979年度报告中所摘录曾任美国国家科学 院副院长的 Mac Lane 的一段话：「戈德尔伟大而抽象的逻辑工作，有个令人惊异的结果 。在分析戈德尔所描述的何者可被一步步程序所得的正式方法中，年轻而聪明的英国逻辑 家图林 (Alan Turing) 定出了这程序所得的结果，即一般递归函数 (general recursive functions)，这也正是一台机器所可能计算的，藉着这个分析，及其在John Von Neumann 等人身上的作用，以致现代计算机的理论观念及分析得以开展，直至今日，对於何者可被 计算的理论描述，及至更深入的分析，我们可正确的说，仍然根植於戈德尔於1931年所发 表的数理逻辑论文中。」 [注4] 我们再举两个较近的例子：电脑病毒与人工智慧。对於电脑病毒，几乎所有使用电脑的人 都遇到过，人人闻之色变，因为感觉防不胜防，事实上，的确如此。我们不时看到警告， 又有某种新的病毒出现了，然後解毒专家们再设计一个新的解毒程式来破解它，在广告中 常看到说某种解毒程式如何如何有效，可解多少多少种病毒，脑筋动的快的人，也许会想 ，为什麽不设计一种万灵丹？可解所有已知及未知的毒，别的不说，钱肯定是可赚得不少 ，当然也可能有些人会想设计出一种病毒是杀不死的，戈德尔不完备定理告诉我们的是， 「没有万灵丹」，也「没有杀不死的病毒」，对任何解毒程式，我们皆可设计出一种病毒 ，使得这个解毒程式杀不死它，同样对任何病毒，我们都可设计出一个解毒程式，把这个 病毒杀死。总之，不论是放毒或解毒的人，都不会没事干，我想这是个坏消息，也是个好 消息 [注5] 。 电脑能不能跟人脑一样？电脑和人脑的差别在那里？这是常被提出的问题。使电脑跟人脑 一样，这是人工智慧学家努力的目标。英国剑桥大学的数学物理学家，亦为皇家学会的院 士 Roger Penrose 对这个问题，写了一本出乎他自己意料之外畅销的书《皇帝新脑》 （The Emperor's New Mind）。1990年7月2日的时代杂志也报导了这本书，而时代杂志用 了一个唯恐天下不乱的标题〈那些电脑都是笨蛋！〉 (Those computers are dummies)。 的确，此书一出又引起了正反双方的论战， Penrose 当然提出许多论证来支持他的论点 ，即人工智慧是有其限度，他最重要的论证即根据戈德尔不完备定理，事实上，这个论证 早就被提出过，另外一本使戈德尔较为人所知的书，即为得1979年普立兹奖 (Pulitzer Prize) 的书《戈德尔，艾叟，巴哈》(Godel, Escher, Bach)，作者 Hofstadter 分别以 艾叟的画，巴哈的音乐来阐述戈德尔的定理，就像 Penrose 的书，这本书也是介绍人工 智慧，夹议科学哲学的书，Hofstadter 同样以不完备定理说明人工智慧所会受到的限制 ，但 Hofstadter 对人工智慧的发展是乐观的。 5.对哲学的影响 现今人类发现似乎有太多的问题无法解决，有各式各样的「危机」，如能源危机、道德危 机、人口爆炸危机等等，而常有「无力感」，但在本世纪初期，人类展望二十世纪是充满 了盼望与信心，当然当时也有许多问题有待解决，但面对未来大家都是乐观的，特别是对 「理智」的信心非常强，相信凭着理智所有的问题都可解决，数学不就是个明显的例子吗 ？十八、十九世纪数学的成就是惊人的，如从希腊时代就留下来的所谓「几何三大难题」 ，竟然一次就都被解决了，也难怪希伯特对科学说：「我们必须知道，我们将会知道」， 自然须交出它所有的问题，而人类必将所有的问题一一克服，所以当不完备定理一出来， 对许多人来说彷如晴天霹雳，Kline 写了一本书，书名为《数学：确定性的失落》 (Mathematics: The Loss of Cerntainty) 很能描绘出这个心情，人们认为找到了数学的 基础，却发现这个基础是海市蜃楼，而且不完备定理似乎告诉人们，我们将永远无法找到 这个基础，连数学这号称最精确的科学尚且如此，其他所有的知识又如何立足呢?不完备 定理告诉我们，有些事情是真的，但我们无法证明它，若是如此，人要如何面对没有被证 明的事？既无法全部接受，亦不该全部否决，如何决定取舍呢？这似乎是人人都可以也应 当思考的问题，而不仅仅是哲学家所必须面对的问题。 不完备定理的发现至今已超过六十年了，这个定理的重要性，不仅未随时间、历史背景的 改变而减退，人们在不同的领域中，正逐渐发现它的意义与影响，只可惜由於国内对逻辑 的研究者不多，至今尚没有一本合适的中文书证明或阐明此定理，对此定理证明有兴趣的 读者可参考 H.B. Enderton 所着的《A Mathematical Introduction to Logic》。 今年亦为国内的数理逻辑的前辈刘世超博士的七十岁生日，谨以此文敬贺刘教授七十岁， 亦盼望逻辑此一领域在大家继续的努力下，在国内能生根，开花，结果。 --

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