近代邏輯的發展(1) By CP From 哲學小報第六十號 　 1.0 前言 這一回，我們將介紹近代邏輯的發展。在此「近代邏輯」（或稱符號邏輯、數理邏輯） 一詞指的是從十九世紀中葉到二十世紀中葉這約一百年間所發展出的不同於Aristotle 三段論（syllogism）的新邏輯。 1.1 什麼是推論？ 在日常生活中，我們常常進行推論（reasoning）的工作—透過語句（或命題）與 語句（或命題）間的關係，從某些語句（或命題），得出另外一些語句（或命題）。 比方，出門前，看著外頭天色陰暗，出門的時候就會記得要帶把傘，因為你心想， 「天色陰暗，晚點八成會下雨。」這就是一個推論的例子。 邏輯是一門關於推論的學問，我們的目標是「從真的前提出發，透過一些適當的推論， 能夠確保最終獲得的結論亦為真」；這不僅是邏輯的目標，也是很多其他學科的目標— 以一些已知確定為真的命題作為基礎，建構出一座含括所有真理的殿堂。[1] 1.2 三段論 人們使用推論，應該是一件很自然的事。回溯西方邏輯史，Aristotle（西元前三八四 —三二二年）的三段論，是我們所知最早的一個邏輯系統。三段論不僅告訴我們如何 分辨好的推論（亦即truth-preserving reasoning）[2]，它亦提供一套說法解釋了 「為什麼有些推論是好的論證，有些不是？」[3] 從西元前四世紀到十九世紀，Aristotle的三段論，可以說就是「邏輯」的同義詞。 這套邏輯裡頭的每一個推論，都必須包含兩個前提、一個結論。它處理下列四種形式 （以及任何可以轉化到這四種形式）的命題（他稱之為「定言命題」（categorical proposition））： 所有的A都是B。 沒有任何一個A是B。 有一些A是B。 有一些A不是B。 換言之，每一個作為前提或者結論的命題，都必須符合這四種句型之中的一種才行。 這裡就出現問題了：那不合這四種形式的命題該怎麼辦？或者那些無法以「兩個前提 、一個結論」的形式表達的推論該怎麼辦？顯然，有很多我們實際碰到的推論，是三 段論無法處理的。[4] 然而，十九世紀中葉以後開始發展的新邏輯，卻不是針對這樣的問題所生。 我們下一回再繼續。 -------------------------------------------------------------------------------- [1] 大家最熟悉的例子或許該算是公元前三百年左右，希臘數學家Euclid（歐幾里得） 在《幾何原本》（Elements）中所演繹出的體系，他用二十三個定義、五條公設和五條 公理作為基礎，推演出各命題和（歐氏）幾何，這是用公理系（axiomatic system）建 立演繹體系的最早典範。 [2] 這意思是說，確保從真前提不會導出假結論，亦即我們現在所說的「有效推論」。 一個推論若「不可能前提都真而結論為假」，它就是一個有效的（valid）推論，若否 ，則為無效（invalid）。 [3] 三段論裡以命題的形式區分不同種類的命題與推論，比如： （一） 前提一：所有的A都是B。 前提二：有些C是A。 結論：有些C是B。 這是一個有效的推論式，所以任何符合這個式子的推論都是有效的推論。 （二） 前提一：有些A是B。 前提二：所有的C都是A。 結論：所有的C都是B。 這是一個無效的推論式，所以任何符合這個式子的推論都不會是有效的推論。 關於Aristotle的三段論，我在網路上找到這個「邏輯教室」網站: http://stlinux.ouhk.edu.hk/~logic/class.htm ，裡頭有清楚、詳細的說明，十分值得一看。 [4] 比方說，關於關係的推論：A比B長，B比C長，所以A比C長。這算是滿普通的推論 ，但我們無法以三段論的形式表達。 --

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