近代逻辑的发展(1) By CP From 哲学小报第六十号 　 1.0 前言 这一回，我们将介绍近代逻辑的发展。在此「近代逻辑」（或称符号逻辑、数理逻辑） 一词指的是从十九世纪中叶到二十世纪中叶这约一百年间所发展出的不同於Aristotle 三段论（syllogism）的新逻辑。 1.1 什麽是推论？ 在日常生活中，我们常常进行推论（reasoning）的工作—透过语句（或命题）与 语句（或命题）间的关系，从某些语句（或命题），得出另外一些语句（或命题）。 比方，出门前，看着外头天色阴暗，出门的时候就会记得要带把伞，因为你心想， 「天色阴暗，晚点八成会下雨。」这就是一个推论的例子。 逻辑是一门关於推论的学问，我们的目标是「从真的前提出发，透过一些适当的推论， 能够确保最终获得的结论亦为真」；这不仅是逻辑的目标，也是很多其他学科的目标— 以一些已知确定为真的命题作为基础，建构出一座含括所有真理的殿堂。[1] 1.2 三段论 人们使用推论，应该是一件很自然的事。回溯西方逻辑史，Aristotle（西元前三八四 —三二二年）的三段论，是我们所知最早的一个逻辑系统。三段论不仅告诉我们如何 分辨好的推论（亦即truth-preserving reasoning）[2]，它亦提供一套说法解释了 「为什麽有些推论是好的论证，有些不是？」[3] 从西元前四世纪到十九世纪，Aristotle的三段论，可以说就是「逻辑」的同义词。 这套逻辑里头的每一个推论，都必须包含两个前提、一个结论。它处理下列四种形式 （以及任何可以转化到这四种形式）的命题（他称之为「定言命题」（categorical proposition））： 所有的A都是B。 没有任何一个A是B。 有一些A是B。 有一些A不是B。 换言之，每一个作为前提或者结论的命题，都必须符合这四种句型之中的一种才行。 这里就出现问题了：那不合这四种形式的命题该怎麽办？或者那些无法以「两个前提 、一个结论」的形式表达的推论该怎麽办？显然，有很多我们实际碰到的推论，是三 段论无法处理的。[4] 然而，十九世纪中叶以後开始发展的新逻辑，却不是针对这样的问题所生。 我们下一回再继续。 -------------------------------------------------------------------------------- [1] 大家最熟悉的例子或许该算是公元前三百年左右，希腊数学家Euclid（欧几里得） 在《几何原本》（Elements）中所演绎出的体系，他用二十三个定义、五条公设和五条 公理作为基础，推演出各命题和（欧氏）几何，这是用公理系（axiomatic system）建 立演绎体系的最早典范。 [2] 这意思是说，确保从真前提不会导出假结论，亦即我们现在所说的「有效推论」。 一个推论若「不可能前提都真而结论为假」，它就是一个有效的（valid）推论，若否 ，则为无效（invalid）。 [3] 三段论里以命题的形式区分不同种类的命题与推论，比如： （一） 前提一：所有的A都是B。 前提二：有些C是A。 结论：有些C是B。 这是一个有效的推论式，所以任何符合这个式子的推论都是有效的推论。 （二） 前提一：有些A是B。 前提二：所有的C都是A。 结论：所有的C都是B。 这是一个无效的推论式，所以任何符合这个式子的推论都不会是有效的推论。 关於Aristotle的三段论，我在网路上找到这个「逻辑教室」网站: http://stlinux.ouhk.edu.hk/~logic/class.htm ，里头有清楚、详细的说明，十分值得一看。 [4] 比方说，关於关系的推论：A比B长，B比C长，所以A比C长。这算是满普通的推论 ，但我们无法以三段论的形式表达。 --

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