作者dealifeth1 (dealifeth)
看板Physics
標題Re: [問題] 斜拋位移持續增加的角度值
時間Wed Dec 13 22:53:41 2023
提供不用微積分的解法
思路：位移持續增加，代表全程位移和速度均夾銳角。
列出內積後，判別式小於零
https://i.imgur.com/8QJXCiT.jpg
※ 引述《Honor1984 (奈何上天造化弄人？)》之銘言：
: ※ 引述《dgju2990 ()》之銘言：
: : https://i.imgur.com/ffKY52w.jpeg
: : 如圖
: : 假設一物體以相同初速斜向拋出，若該物與原點的位移持續增加時，
: : 所能得到的最大sinθ值為多少？
: : 像上面那張圖就是位移持續增加，下面就是過最高點後開始減少了
: : 原本想法是用軌跡方程式算出X,y平方是距離，然後在微分大於零就是漸增了
: : 但中間數學有很大的代溝
: : 再來嘗試用向量來算
: : https://i.imgur.com/nSZ5p5G.jpeg
: : 還是不知道怎麼求出sin最大值，求救希望能在普物範疇內解釋
: : 答案是sinθ=2*2^0.5/3 （3分之2根號2）
: : -----
: : Sent from MeowPtt on my iPhone
: 從你的向量圖或直接從向量內積做起
: s^2 = (1/4)(g^2)t^4 + (v^2)t^2 - (vgsinθ)t^3
: d(s^2)/dt = t[(g^2)t^2 - (3vgsinθ)t + 2v^2]
: = t(t - t')(t - t")， t < t' <= t"
: 落地時間t* = (2v/g)sinθ，
: 直接比較可知t* >= t'
: 代表如果t' =/= t"，則落地前必發生s從增長到縮減的轉捩點
: 這不是我們要的狀況
: 所以題意要求的狀況必然是發生在(3vgsinθ)^2 - 8(gv)^2 <= 0的條件下
: => sinθ <= (2/3)√2 = (sinθ)_max
: 這應該不是普通的普物題吧？
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※ 文章網址: https://webptt.com/m.aspx?n=bbs/Physics/M.1702479222.A.0AC.html
1F：→ musicbox810: r‧v>0有不用微積分的證明嗎？12/13 23:08
https://i.imgur.com/6BYewvW.jpg
※ 編輯: dealifeth1 (111.242.206.253 臺灣), 12/13/2023 23:45:42
※ 編輯: dealifeth1 (111.242.206.253 臺灣), 12/13/2023 23:46:47
2F：→ musicbox810: 這個應該不能算證明，只是微積分做出來的結果圖解 12/14 12:38
3F：→ musicbox810: 而且r.v>0，你直接把t約掉，然後後面又把t當變數，很 12/14 12:39
4F：→ musicbox810: 奇怪，過程有點問題 12/14 12:39
5F：→ mhch: 我也是用這麼解，兩向量內積需大於等於零，內積出來的函數 12/14 12:57
6F：→ mhch: f(t)=0的解頂多一個非零的解或無實數解，t不為零，則可約掉 12/14 12:59
7F：→ mhch: 一個t變成t的二次函數，接下來就看你要用配方法或判別式去求 12/14 13:00
8F：→ musicbox810: t不為0，不等式約去也會有大於小於變號的問題 12/14 15:18
9F：→ mhch: t為正值，約掉不用變號；約完後為開口朝上的拋物線... 12/14 15:23
10F：→ musicbox810: f(t)=0的解頂多一個非零的解或無實數解，這要怎麼看? 12/14 15:24
11F：→ mhch: 無實數解，就代表找不到函數小於0的時間 12/14 15:26
12F：→ mhch: 等於零的那一個就是過程中有一個時刻點剛剛好兩向量垂直 12/14 15:26
13F：→ musicbox810: 所謂t為正值，是指f(t)=0的解，怎麼知道不會有負解? 12/14 15:31
14F：→ mhch: t為已拋出開始計時經過的時間，物理經過的時間不會有負值 12/14 15:33
15F：→ mhch: 你可以試試看用公式解得f(t)=0的t解長怎樣，只有一解會怎樣 12/14 15:36
16F：→ mhch: 判斷看看那一解會不會是負的 12/14 15:37
17F：→ musicbox810: f(t)=tg(t)，g(t)為二次函數，假設我們只管t為正值的 12/14 15:37
18F：→ musicbox810: 區域，要求tg(t)在此區間>0，那就算g(t)判別式>0，照 12/14 15:38
19F：→ musicbox810: 樣做得到。 12/14 15:39
20F：→ mhch: 要滿足題意式應該t無實數解，也就是判別式要小於零 12/14 15:40
21F：→ mhch: 不存在你所說的判別式大於零的情況 12/14 15:41
22F：→ mhch: 數學上畫那t的二次函數會有部分區域在t<0的地方 12/14 15:45
23F：→ mhch: 但是物理限制就是只能有t>0的區域 12/14 15:46
24F：→ musicbox810: 所以既然是t無實數解，是包含整個實數域，就不應該直 12/14 15:47
25F：→ mhch: 那二次函數取t>0的區域找符合滿足函數為零的時刻t要嘛一個 12/14 15:48
26F：→ mhch: 要嘛就是找不到，也就是整個二次函數都在t軸以上 12/14 15:49
27F：→ musicbox810: 接將不等式的t約掉。這題可以剛好約掉，是因為f(t)的 12/14 15:49
28F：→ musicbox810: 函數表達式有受到限定，而不是直接約掉t當作通則。 12/14 15:49
29F：→ mhch: 對阿，以這題物理限制當然就直接約掉就好，我們是在處理物理 12/14 15:53
30F：→ mhch: 問題，不是在處理滿不滿足通則的數學問題，在限制下可以滿足 12/14 15:54
31F：→ mhch: 當然就如此做就好 12/14 15:54
32F：→ musicbox810: 我再想想好了，謝謝 12/14 15:57
33F：→ mhch: t無實數解，以這題來說就是限制在t>0的區域找不到t可以使得 12/14 15:59
34F：→ mhch: f(t)=0，這已經自動限制只能找正實數域，根本不用考慮負實數 12/14 16:01
35F：→ mhch: 我前面有講錯:無實數解，就代表找不到函數"等"於0的時間 12/14 16:04
36F：→ dealifeth1: 那個若r漸增，則r‧v>0的數學證明我覺得不用微積分應 12/15 01:23
37F：→ dealifeth1: 該是不行的 12/15 01:24
38F：→ dealifeth1: 不過解題的話應該能說出個理由就行吧 12/15 01:24
39F：→ dealifeth1: t的部分同m大說的 12/15 01:26
40F：→ dealifeth1: mhch 大 12/15 01:27
41F：→ mhch: 如果判別式方法還無法接受，那試試配方法吧 12/15 12:20
44F：→ musicbox810: 這個作法還有另外一個問題，實際上只要落地前r.v>=0 12/15 14:48
45F：→ musicbox810: 就好，所以不是單純直接配方法令常數項>=0就好 12/15 14:49
46F：→ mhch: 您自己看看函數極小值時的時間是不是在飛行時間裡？ 12/15 15:29
47F：→ mhch: 您自己看看函數極小值時的時間是不是在飛行時間裡？其它時 12/15 15:50
48F：→ mhch: 間包含飛行的其間符不符合？況且我們也是只要飛行時間內符合 12/15 15:51
49F：→ mhch: 合就好，沒必要去扯非飛行的時刻 12/15 15:52
50F：→ dealifeth1: 實際上r‧v=0的時間點只會在過最高點後到落地時間前 12/15 16:11
51F：→ dealifeth1: 不用考慮落地時間後 12/15 16:11
52F：→ dealifeth1: 即便是設定從高處斜拋，低於初拋高度後因為r和v的方向 12/15 16:14
53F：→ dealifeth1: 都必在第四象限，所以兩者必夾銳角 12/15 16:14
54F：→ mhch: d大～您說的是對的，我上面是回應mucicbox810 12/15 17:07
55F：→ mhch: 我認為他很拘泥在數學上的函數的值域是否都符合，但是物理 12/15 17:11
56F：→ mhch: 是只要討論滿足物理情況的範圍就好 12/15 17:11
57F：→ dealifeth1: 同感 12/15 19:34
58F：→ Bugquan: 物理上很多都是先做了再說，感覺怪怪的再修正。 12/15 22:46