作者dealifeth1 (dealifeth)
看板Physics
标题Re: [问题] 斜抛位移持续增加的角度值
时间Wed Dec 13 22:53:41 2023
提供不用微积分的解法
思路：位移持续增加，代表全程位移和速度均夹锐角。
列出内积後，判别式小於零
https://i.imgur.com/8QJXCiT.jpg
※ 引述《Honor1984 (奈何上天造化弄人？)》之铭言：
: ※ 引述《dgju2990 ()》之铭言：
: : https://i.imgur.com/ffKY52w.jpeg
: : 如图
: : 假设一物体以相同初速斜向抛出，若该物与原点的位移持续增加时，
: : 所能得到的最大sinθ值为多少？
: : 像上面那张图就是位移持续增加，下面就是过最高点後开始减少了
: : 原本想法是用轨迹方程式算出X,y平方是距离，然後在微分大於零就是渐增了
: : 但中间数学有很大的代沟
: : 再来尝试用向量来算
: : https://i.imgur.com/nSZ5p5G.jpeg
: : 还是不知道怎麽求出sin最大值，求救希望能在普物范畴内解释
: : 答案是sinθ=2*2^0.5/3 （3分之2根号2）
: : -----
: : Sent from MeowPtt on my iPhone
: 从你的向量图或直接从向量内积做起
: s^2 = (1/4)(g^2)t^4 + (v^2)t^2 - (vgsinθ)t^3
: d(s^2)/dt = t[(g^2)t^2 - (3vgsinθ)t + 2v^2]
: = t(t - t')(t - t")， t < t' <= t"
: 落地时间t* = (2v/g)sinθ，
: 直接比较可知t* >= t'
: 代表如果t' =/= t"，则落地前必发生s从增长到缩减的转捩点
: 这不是我们要的状况
: 所以题意要求的状况必然是发生在(3vgsinθ)^2 - 8(gv)^2 <= 0的条件下
: => sinθ <= (2/3)√2 = (sinθ)_max
: 这应该不是普通的普物题吧？
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※ 文章网址: https://webptt.com/cn.aspx?n=bbs/Physics/M.1702479222.A.0AC.html
1F：→ musicbox810: r‧v>0有不用微积分的证明吗？12/13 23:08
https://i.imgur.com/6BYewvW.jpg
※ 编辑: dealifeth1 (111.242.206.253 台湾), 12/13/2023 23:45:42
※ 编辑: dealifeth1 (111.242.206.253 台湾), 12/13/2023 23:46:47
2F：→ musicbox810: 这个应该不能算证明，只是微积分做出来的结果图解 12/14 12:38
3F：→ musicbox810: 而且r.v>0，你直接把t约掉，然後後面又把t当变数，很 12/14 12:39
4F：→ musicbox810: 奇怪，过程有点问题 12/14 12:39
5F：→ mhch: 我也是用这麽解，两向量内积需大於等於零，内积出来的函数 12/14 12:57
6F：→ mhch: f(t)=0的解顶多一个非零的解或无实数解，t不为零，则可约掉 12/14 12:59
7F：→ mhch: 一个t变成t的二次函数，接下来就看你要用配方法或判别式去求 12/14 13:00
8F：→ musicbox810: t不为0，不等式约去也会有大於小於变号的问题 12/14 15:18
9F：→ mhch: t为正值，约掉不用变号；约完後为开口朝上的抛物线... 12/14 15:23
10F：→ musicbox810: f(t)=0的解顶多一个非零的解或无实数解，这要怎麽看? 12/14 15:24
11F：→ mhch: 无实数解，就代表找不到函数小於0的时间 12/14 15:26
12F：→ mhch: 等於零的那一个就是过程中有一个时刻点刚刚好两向量垂直 12/14 15:26
13F：→ musicbox810: 所谓t为正值，是指f(t)=0的解，怎麽知道不会有负解? 12/14 15:31
14F：→ mhch: t为已抛出开始计时经过的时间，物理经过的时间不会有负值 12/14 15:33
15F：→ mhch: 你可以试试看用公式解得f(t)=0的t解长怎样，只有一解会怎样 12/14 15:36
16F：→ mhch: 判断看看那一解会不会是负的 12/14 15:37
17F：→ musicbox810: f(t)=tg(t)，g(t)为二次函数，假设我们只管t为正值的 12/14 15:37
18F：→ musicbox810: 区域，要求tg(t)在此区间>0，那就算g(t)判别式>0，照 12/14 15:38
19F：→ musicbox810: 样做得到。 12/14 15:39
20F：→ mhch: 要满足题意式应该t无实数解，也就是判别式要小於零 12/14 15:40
21F：→ mhch: 不存在你所说的判别式大於零的情况 12/14 15:41
22F：→ mhch: 数学上画那t的二次函数会有部分区域在t<0的地方 12/14 15:45
23F：→ mhch: 但是物理限制就是只能有t>0的区域 12/14 15:46
24F：→ musicbox810: 所以既然是t无实数解，是包含整个实数域，就不应该直 12/14 15:47
25F：→ mhch: 那二次函数取t>0的区域找符合满足函数为零的时刻t要嘛一个 12/14 15:48
26F：→ mhch: 要嘛就是找不到，也就是整个二次函数都在t轴以上 12/14 15:49
27F：→ musicbox810: 接将不等式的t约掉。这题可以刚好约掉，是因为f(t)的 12/14 15:49
28F：→ musicbox810: 函数表达式有受到限定，而不是直接约掉t当作通则。 12/14 15:49
29F：→ mhch: 对阿，以这题物理限制当然就直接约掉就好，我们是在处理物理 12/14 15:53
30F：→ mhch: 问题，不是在处理满不满足通则的数学问题，在限制下可以满足 12/14 15:54
31F：→ mhch: 当然就如此做就好 12/14 15:54
32F：→ musicbox810: 我再想想好了，谢谢 12/14 15:57
33F：→ mhch: t无实数解，以这题来说就是限制在t>0的区域找不到t可以使得 12/14 15:59
34F：→ mhch: f(t)=0，这已经自动限制只能找正实数域，根本不用考虑负实数 12/14 16:01
35F：→ mhch: 我前面有讲错:无实数解，就代表找不到函数"等"於0的时间 12/14 16:04
36F：→ dealifeth1: 那个若r渐增，则r‧v>0的数学证明我觉得不用微积分应 12/15 01:23
37F：→ dealifeth1: 该是不行的 12/15 01:24
38F：→ dealifeth1: 不过解题的话应该能说出个理由就行吧 12/15 01:24
39F：→ dealifeth1: t的部分同m大说的 12/15 01:26
40F：→ dealifeth1: mhch 大 12/15 01:27
41F：→ mhch: 如果判别式方法还无法接受，那试试配方法吧 12/15 12:20
44F：→ musicbox810: 这个作法还有另外一个问题，实际上只要落地前r.v>=0 12/15 14:48
45F：→ musicbox810: 就好，所以不是单纯直接配方法令常数项>=0就好 12/15 14:49
46F：→ mhch: 您自己看看函数极小值时的时间是不是在飞行时间里？ 12/15 15:29
47F：→ mhch: 您自己看看函数极小值时的时间是不是在飞行时间里？其它时 12/15 15:50
48F：→ mhch: 间包含飞行的其间符不符合？况且我们也是只要飞行时间内符合 12/15 15:51
49F：→ mhch: 合就好，没必要去扯非飞行的时刻 12/15 15:52
50F：→ dealifeth1: 实际上r‧v=0的时间点只会在过最高点後到落地时间前 12/15 16:11
51F：→ dealifeth1: 不用考虑落地时间後 12/15 16:11
52F：→ dealifeth1: 即便是设定从高处斜抛，低於初抛高度後因为r和v的方向 12/15 16:14
53F：→ dealifeth1: 都必在第四象限，所以两者必夹锐角 12/15 16:14
54F：→ mhch: d大～您说的是对的，我上面是回应mucicbox810 12/15 17:07
55F：→ mhch: 我认为他很拘泥在数学上的函数的值域是否都符合，但是物理 12/15 17:11
56F：→ mhch: 是只要讨论满足物理情况的范围就好 12/15 17:11
57F：→ dealifeth1: 同感 12/15 19:34
58F：→ Bugquan: 物理上很多都是先做了再说，感觉怪怪的再修正。 12/15 22:46