作者DJWS (...)
看板Physics
標題Re: [問題] 彈性碰撞(移動+轉動)
時間Tue Mar 21 16:29:40 2023
新問題。
一根桿子，質量M，速度0，長度L，質地均勻，不計粗細，質心在正中央。
一個質點，質量m，速度v。
質點從垂直方向撞擊桿子。兩者皆位於光滑平面。
如果撞擊位置在質心，碰撞之後，顯然桿子只會移動。
利用(a)動量守恆定律(b)恢復係數，即得移動速度。
如果撞擊位置不在質心，而是位於桿子末端，距離L/2的地方。
那麼桿子會如何運動？
(1) 只會移動
(2) 只會轉動
(3) 同時移動和轉動
如果答案是(3)，
移動速度和轉動速度又各是多少呢？
附註：
我去圖書館翻閱了經典力學、工程力學、連續力學、接觸力學的書籍，
都沒有找到答案。
還是說我找錯書了？希望大家可以指點一下，告訴我應該找哪本書。
（我是資工背景，不太熟悉物理。）
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※ 編輯: DJWS (220.137.33.44 臺灣), 03/21/2023 16:33:09
1F：→ caseypie: 用動量守恆、能量守恆、角動量守恆聯立可解 03/22 00:38
2F：→ DJWS: 我剛開始也是這樣想的，但是四個變數三個式子，解不出來。 03/22 21:48
3F：推 yvb: 因為要求是彈性碰撞, 所以桿子不會改變轉速, 原來不轉就不轉. 03/23 18:41
4F：→ DJWS: 樓上說法很有道理，可是存在弔詭的地方。現在改成鉛直平面， 03/23 20:42
5F：→ DJWS: 桿子和質點皆受到重力g。桿子鉛直擺放，質點橫向撞擊。這樣 03/23 20:44
6F：→ DJWS: 難道不會轉動嗎？轉動速度真的是靠角動量守恆決定的嗎？ 03/23 20:45
7F：推 yvb: 不對, 應該不能假設角動量守恆. 但總動能包含旋轉動能要守恆. 03/23 22:29
8F：→ DJWS: 聽起來很好。那麼移動動能和轉動動能如何分配呢？ 03/24 19:51
9F：→ caseypie: 哪裡來的四個變數 03/25 00:24
10F：→ caseypie: 轉動角速度和小球碰撞前後速度，就三個。 03/25 00:25
11F：→ caseypie: 撞擊後角度跟接觸面形狀和材質有關 03/25 00:25
12F：→ caseypie: 講錯，碰撞後小球和木棍速度和木棍角速度，共三個 03/25 00:26
13F：推 Ayenyen: c大，原po的情況4個變數應該是，碰撞後的未知數：桿質心 03/25 12:14
14F：→ Ayenyen: 速度、桿角速度、桿碰撞點的速度、球球速度；但可使用4 03/25 12:14
15F：→ Ayenyen: 條方程式：恢復係數、剛體運動式子、線動量守恆、角動量 03/25 12:14
16F：→ Ayenyen: 守恆。所以全部都可以解出來 03/25 12:14
17F：→ DJWS: 我很抱歉，這題是三個變數沒錯。我當時腦袋想的是兩桿碰撞。 03/25 19:48
18F：→ DJWS: 另外我想請教，轉動中心位於桿子質心嗎？ 03/25 20:20
19F：→ DJWS: 換個角度看問題，桿子以速度v去撞靜止質點，碰撞後桿子兩端 03/25 20:21
20F：→ DJWS: 速度不同。用線性內插找到速度為零的地方，不一定是質心。 03/25 20:23
21F：推 wohtp: 桿子的運動一定可以拆解成質心平移+相對質心旋轉 03/26 11:42
22F：→ wohtp: 其實你在列式子的時候也可以拆解成繞任何一點旋轉，只是角 03/26 11:45
23F：→ wohtp: 動量會變得很麻煩 03/26 11:45
24F：推 wohtp: 然後轉動看起來也不會是等速。 03/26 11:52
25F：→ wohtp: 然後你那個內插法沒把平移速度減掉對吧。整枝桿子在動，旋 03/26 11:56
26F：→ wohtp: 轉中心速度不會是零啊。 03/26 11:56
27F：→ DJWS: 對呀，instantaneous center不知道在哪，平移速度也不知道應 03/26 19:50
28F：→ DJWS: 該減掉多少。 03/26 19:50
30F：推 Ayenyen: 更正一下（二）的式子：e=(uG+V’)/Vo 03/26 23:29
31F：→ Ayenyen: e=(uB+V’)/Vo 03/26 23:30
我認為，物理定律都有使用前提。
對於物理教科書的常見主題，我的解讀如下：
一、物體移動，進行碰撞，「保證不會轉動」，才有動量守恆。
二、物體繞行軌道移動，「沒有碰撞」「繞行中心固定」「保證不會轉動」，才有角動量守恆。
三、物體轉動，「沒有碰撞」「中心固定」「保證不會移動」，才有轉動慣量、角動量。
四、物體運動，「沒有碰撞」，可以拆成質心移動速度與質心轉動速度。
五、物體繞行軌道運動，「沒有碰撞」，可以拆成公轉動量與自轉動量。
我的問題是：物體「發生碰撞」「允許移動和轉動」，兩者速度如何分配。
我的問題不屬於上述任一主題。
大家的方法看上去只有兩類：
一、聯立：前提不一樣的定律，我認為應該不能聯立。
二、能量守恆：所以說要怎麼分配給移動和轉動？
※ 編輯: DJWS (220.137.21.119 臺灣), 03/27/2023 09:35:38
32F：→ caseypie: 你的理解是錯的，動量守恆和角動量守恆都是保證成立 03/27 15:36
33F：→ caseypie: 轉動慣量和角動量可以定義在任何系統上 03/27 15:37
34F：→ caseypie: 剛體轉動一定可以拆成質心移動和繞質心轉動 03/27 15:38
35F：→ caseypie: 第五點看不懂什麼意思 03/27 15:39
36F：推 yvb: 我前面腦殘了. 整個系統要角動量守恆, 而不是單看桿子本身. 03/27 20:29
37F：→ yvb: 但是桿子加質點的轉動慣量一直變,所以要看碰撞前後的那瞬間. 03/27 20:31
38F：→ yvb: 另外前面改鉛直受重力g, 那就只是力學能守恆, 會位能轉動能. 03/27 20:54
39F：推 yvb: 找到有人用不同方式求解: 03/27 21:08
41F：推 Ayenyen: 碰撞的時間是 dt 的事情，所以只有碰撞前跟碰撞後的狀態 03/27 23:18
42F：→ Ayenyen: ：線動量守恆和角動量守恆。碰撞期間已經交給恢復係數了 03/27 23:18
43F：→ DJWS: @caseypie 你得把物體拆成一堆質點，每個質點都有速度。 03/28 04:48
44F：→ DJWS: 形成一個向量場。物體轉動就是每個質點速度方向不同。 03/28 04:48
45F：→ DJWS: 首先要有質點動量守恆，才有物體動量守恆。 03/28 04:50
46F：→ DJWS: 物體旋轉，「物體形狀均勻對稱」，質點動量總和才是零。 03/28 04:51
47F：→ DJWS: 物體形狀不是均勻對稱，或者轉動中心不在物體中心，那麼 03/28 04:52
48F：→ DJWS: 質點動量總和不是零。所以教科書談物體碰撞，絕不討論轉動。 03/28 04:53
49F：→ DJWS: @yvb 該文沒有討論撞擊地點。 03/28 05:24
50F：→ caseypie: 你高興就好。 03/28 08:29
51F：推 yvb: 不了解要討論什麼撞擊地點? 他的圖1圖2和第一段描述不是嗎? 03/28 18:14
52F：→ fsug: 你先去找一本高中物理教科書理解一下動量守恆和角動量守恆的 03/28 21:28
53F：→ fsug: 前提好了，你上面註解的前提可以很清楚看出你對兩者的理解 03/28 21:29
54F：→ fsug: 有錯 03/28 21:30
55F：→ fsug: 你應該是從題目歸納出動量守恆和角動量守恆的前提，但其實 03/28 21:31
56F：→ fsug: 教科書中都有很清楚地寫出來甚麼條件下會達成這兩個守恆律 03/28 21:32
57F：→ DJWS: 那可以請你推薦有介紹前提的書籍名稱嗎？ 03/28 21:45
58F：→ DJWS: 另外我也想知道內含本題計算過程的書籍名稱 03/28 21:54
59F：→ DJWS: @yvb 我現在看到了，他放在第三式。不好意思漏看了。 03/28 21:55
60F：→ DJWS: @fsug 我換個說法好了，例如前面提到的剛體運動拆成質心移動 03/28 22:03
61F：→ DJWS: 和質心轉動，這個應該是叫做Chasles’s Theorem，可以用數學 03/28 22:03
62F：→ DJWS: 式子證明。甚麼條件下會達成守恆律，我想應該也可以用數學來 03/28 22:04
63F：→ DJWS: 式子來描述。希望請你推薦這方面的書籍。 03/28 22:05
65F：→ DJWS: 這個講義Appendix 20A的描述方式，就是我想知道的方向。 03/28 22:09
66F：推 Vulpix: 龍騰版、南一版的物理課本都可以喔。即使不是大出版社的 03/28 22:57
67F：→ Vulpix: 也可以，關鍵在於要找物理課本。 03/28 22:57
68F：推 wohtp: 原po如果想看到相對嚴謹的推導，那要找Goldstein之類的古典 03/29 09:59
69F：→ wohtp: 力學課本。先警告一下很不好吃喔。 03/29 09:59
70F：→ wohtp: 守恆定律是運動方程式層級。你把兩個東西隨手擺著，它們一 03/29 10:06
71F：→ wohtp: 般來說不會自己開始平移或轉動，可判斷運動方程式本身保證 03/29 10:06
72F：→ wohtp: 守恆。所以任何解都會滿足守恆性質，怎麼碰撞不影響。 03/29 10:06
73F：→ DJWS: 感謝，我會去讀。這個方向是叫做analytical mechanics嗎？ 03/30 07:52
74F：→ DJWS: 我偶然找到這個關鍵字，然後查詢相關書籍，也是找到這本書。 03/30 07:53
75F：→ DJWS: 在我認知當中，動量守恆、恢復係數可以聯立，就是沒有根據 03/30 07:54
76F：→ DJWS: 的事情了。恢復係數就好比故事臨時追加設定，只是這個設定剛 03/30 07:55
77F：→ DJWS: 好沒有出現矛盾。至於painleve conjecture則是動量守恆、 03/30 07:57
78F：→ DJWS: 庫侖摩擦模型兩者聯立，結果在特殊情況下產生矛盾。 03/30 07:57
79F：→ DJWS: 這種多式聯立的行為，是不是背後都有某些前提、某些推導？ 03/30 08:01
80F：→ DJWS: 不然感覺就是我想聯立就聯立，不被發現矛盾就沒問題。 03/30 08:11
81F：→ DJWS: 抱歉修正一下，是painleve paradox。 03/30 09:09
82F：推 wohtp: 對稱性導致守恆定律。不管你怎麼撞，力學能有沒有散失，只 03/30 10:27
83F：→ wohtp: 要平移對稱還在，總動量必須守恆。 03/30 10:27
84F：→ wohtp: 守恆量的價值就在於守恆。如果你隨隨便便可以把它們玩壞， 03/30 10:27
85F：→ wohtp: 一開始就不會把它們當成守恆量了。 03/30 10:27
86F：→ wohtp: 對稱性大概就是你想找的前提吧。 03/30 10:28
87F：→ DJWS: 我找到了一本書Physics for Mathematicians: Mechanics I 03/31 08:04
88F：→ DJWS: 我發現書中作者也對物理抱有疑問，原來不是只有我這樣想。 03/31 08:05
89F：→ DJWS: 另外我也讀了Goldstein，這本書感覺是大雜燴，我覺得不太適 03/31 08:06
90F：→ DJWS: 合用來理解物理原理。我比較喜歡Atam Arya的古典力學，他的 03/31 08:08
91F：→ DJWS: 段落分割比較容易閱讀，每個段落目的明確。 03/31 08:09
92F：→ DJWS: 然後Goldstein其實也沒有仔細解釋動量守恆、角動量守恆、 03/31 08:13
93F：→ DJWS: 能量這些東西是怎麼來的。剛體運動也僅僅是提到它是大量質點 03/31 08:14
94F：→ DJWS: 以及位置限制兩件事情組成，沒有繼續深入。可能物理學家就是 03/31 08:15
95F：→ DJWS: 這樣吧。 03/31 08:15
96F：→ DJWS: 至於對稱性，那個應該是Noether's theorem，這個我沒學會， 03/31 08:31
97F：→ DJWS: 抱歉沒有辦法就這點跟你討論。 03/31 08:31