作者DJWS (...)
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标题Re: [问题] 弹性碰撞(移动+转动)
时间Tue Mar 21 16:29:40 2023
新问题。
一根杆子，质量M，速度0，长度L，质地均匀，不计粗细，质心在正中央。
一个质点，质量m，速度v。
质点从垂直方向撞击杆子。两者皆位於光滑平面。
如果撞击位置在质心，碰撞之後，显然杆子只会移动。
利用(a)动量守恒定律(b)恢复系数，即得移动速度。
如果撞击位置不在质心，而是位於杆子末端，距离L/2的地方。
那麽杆子会如何运动？
(1) 只会移动
(2) 只会转动
(3) 同时移动和转动
如果答案是(3)，
移动速度和转动速度又各是多少呢？
附注：
我去图书馆翻阅了经典力学、工程力学、连续力学、接触力学的书籍，
都没有找到答案。
还是说我找错书了？希望大家可以指点一下，告诉我应该找哪本书。
（我是资工背景，不太熟悉物理。）
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※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc), 来自: 220.137.33.44 (台湾)
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※ 编辑: DJWS (220.137.33.44 台湾), 03/21/2023 16:33:09
1F：→ caseypie: 用动量守恒、能量守恒、角动量守恒联立可解 03/22 00:38
2F：→ DJWS: 我刚开始也是这样想的，但是四个变数三个式子，解不出来。 03/22 21:48
3F：推 yvb: 因为要求是弹性碰撞, 所以杆子不会改变转速, 原来不转就不转. 03/23 18:41
4F：→ DJWS: 楼上说法很有道理，可是存在吊诡的地方。现在改成铅直平面， 03/23 20:42
5F：→ DJWS: 杆子和质点皆受到重力g。杆子铅直摆放，质点横向撞击。这样 03/23 20:44
6F：→ DJWS: 难道不会转动吗？转动速度真的是靠角动量守恒决定的吗？ 03/23 20:45
7F：推 yvb: 不对, 应该不能假设角动量守恒. 但总动能包含旋转动能要守恒. 03/23 22:29
8F：→ DJWS: 听起来很好。那麽移动动能和转动动能如何分配呢？ 03/24 19:51
9F：→ caseypie: 哪里来的四个变数 03/25 00:24
10F：→ caseypie: 转动角速度和小球碰撞前後速度，就三个。 03/25 00:25
11F：→ caseypie: 撞击後角度跟接触面形状和材质有关 03/25 00:25
12F：→ caseypie: 讲错，碰撞後小球和木棍速度和木棍角速度，共三个 03/25 00:26
13F：推 Ayenyen: c大，原po的情况4个变数应该是，碰撞後的未知数：杆质心 03/25 12:14
14F：→ Ayenyen: 速度、杆角速度、杆碰撞点的速度、球球速度；但可使用4 03/25 12:14
15F：→ Ayenyen: 条方程式：恢复系数、刚体运动式子、线动量守恒、角动量 03/25 12:14
16F：→ Ayenyen: 守恒。所以全部都可以解出来 03/25 12:14
17F：→ DJWS: 我很抱歉，这题是三个变数没错。我当时脑袋想的是两杆碰撞。 03/25 19:48
18F：→ DJWS: 另外我想请教，转动中心位於杆子质心吗？ 03/25 20:20
19F：→ DJWS: 换个角度看问题，杆子以速度v去撞静止质点，碰撞後杆子两端 03/25 20:21
20F：→ DJWS: 速度不同。用线性内插找到速度为零的地方，不一定是质心。 03/25 20:23
21F：推 wohtp: 杆子的运动一定可以拆解成质心平移+相对质心旋转 03/26 11:42
22F：→ wohtp: 其实你在列式子的时候也可以拆解成绕任何一点旋转，只是角 03/26 11:45
23F：→ wohtp: 动量会变得很麻烦 03/26 11:45
24F：推 wohtp: 然後转动看起来也不会是等速。 03/26 11:52
25F：→ wohtp: 然後你那个内插法没把平移速度减掉对吧。整枝杆子在动，旋 03/26 11:56
26F：→ wohtp: 转中心速度不会是零啊。 03/26 11:56
27F：→ DJWS: 对呀，instantaneous center不知道在哪，平移速度也不知道应 03/26 19:50
28F：→ DJWS: 该减掉多少。 03/26 19:50
30F：推 Ayenyen: 更正一下（二）的式子：e=(uG+V’)/Vo 03/26 23:29
31F：→ Ayenyen: e=(uB+V’)/Vo 03/26 23:30
我认为，物理定律都有使用前提。
对於物理教科书的常见主题，我的解读如下：
一、物体移动，进行碰撞，「保证不会转动」，才有动量守恒。
二、物体绕行轨道移动，「没有碰撞」「绕行中心固定」「保证不会转动」，才有角动量守恒。
三、物体转动，「没有碰撞」「中心固定」「保证不会移动」，才有转动惯量、角动量。
四、物体运动，「没有碰撞」，可以拆成质心移动速度与质心转动速度。
五、物体绕行轨道运动，「没有碰撞」，可以拆成公转动量与自转动量。
我的问题是：物体「发生碰撞」「允许移动和转动」，两者速度如何分配。
我的问题不属於上述任一主题。
大家的方法看上去只有两类：
一、联立：前提不一样的定律，我认为应该不能联立。
二、能量守恒：所以说要怎麽分配给移动和转动？
※ 编辑: DJWS (220.137.21.119 台湾), 03/27/2023 09:35:38
32F：→ caseypie: 你的理解是错的，动量守恒和角动量守恒都是保证成立 03/27 15:36
33F：→ caseypie: 转动惯量和角动量可以定义在任何系统上 03/27 15:37
34F：→ caseypie: 刚体转动一定可以拆成质心移动和绕质心转动 03/27 15:38
35F：→ caseypie: 第五点看不懂什麽意思 03/27 15:39
36F：推 yvb: 我前面脑残了. 整个系统要角动量守恒, 而不是单看杆子本身. 03/27 20:29
37F：→ yvb: 但是杆子加质点的转动惯量一直变,所以要看碰撞前後的那瞬间. 03/27 20:31
38F：→ yvb: 另外前面改铅直受重力g, 那就只是力学能守恒, 会位能转动能. 03/27 20:54
39F：推 yvb: 找到有人用不同方式求解: 03/27 21:08
41F：推 Ayenyen: 碰撞的时间是 dt 的事情，所以只有碰撞前跟碰撞後的状态 03/27 23:18
42F：→ Ayenyen: ：线动量守恒和角动量守恒。碰撞期间已经交给恢复系数了 03/27 23:18
43F：→ DJWS: @caseypie 你得把物体拆成一堆质点，每个质点都有速度。 03/28 04:48
44F：→ DJWS: 形成一个向量场。物体转动就是每个质点速度方向不同。 03/28 04:48
45F：→ DJWS: 首先要有质点动量守恒，才有物体动量守恒。 03/28 04:50
46F：→ DJWS: 物体旋转，「物体形状均匀对称」，质点动量总和才是零。 03/28 04:51
47F：→ DJWS: 物体形状不是均匀对称，或者转动中心不在物体中心，那麽 03/28 04:52
48F：→ DJWS: 质点动量总和不是零。所以教科书谈物体碰撞，绝不讨论转动。 03/28 04:53
49F：→ DJWS: @yvb 该文没有讨论撞击地点。 03/28 05:24
50F：→ caseypie: 你高兴就好。 03/28 08:29
51F：推 yvb: 不了解要讨论什麽撞击地点? 他的图1图2和第一段描述不是吗? 03/28 18:14
52F：→ fsug: 你先去找一本高中物理教科书理解一下动量守恒和角动量守恒的 03/28 21:28
53F：→ fsug: 前提好了，你上面注解的前提可以很清楚看出你对两者的理解 03/28 21:29
54F：→ fsug: 有错 03/28 21:30
55F：→ fsug: 你应该是从题目归纳出动量守恒和角动量守恒的前提，但其实 03/28 21:31
56F：→ fsug: 教科书中都有很清楚地写出来甚麽条件下会达成这两个守恒律 03/28 21:32
57F：→ DJWS: 那可以请你推荐有介绍前提的书籍名称吗？ 03/28 21:45
58F：→ DJWS: 另外我也想知道内含本题计算过程的书籍名称 03/28 21:54
59F：→ DJWS: @yvb 我现在看到了，他放在第三式。不好意思漏看了。 03/28 21:55
60F：→ DJWS: @fsug 我换个说法好了，例如前面提到的刚体运动拆成质心移动 03/28 22:03
61F：→ DJWS: 和质心转动，这个应该是叫做Chasles’s Theorem，可以用数学 03/28 22:03
62F：→ DJWS: 式子证明。甚麽条件下会达成守恒律，我想应该也可以用数学来 03/28 22:04
63F：→ DJWS: 式子来描述。希望请你推荐这方面的书籍。 03/28 22:05
65F：→ DJWS: 这个讲义Appendix 20A的描述方式，就是我想知道的方向。 03/28 22:09
66F：推 Vulpix: 龙腾版、南一版的物理课本都可以喔。即使不是大出版社的 03/28 22:57
67F：→ Vulpix: 也可以，关键在於要找物理课本。 03/28 22:57
68F：推 wohtp: 原po如果想看到相对严谨的推导，那要找Goldstein之类的古典 03/29 09:59
69F：→ wohtp: 力学课本。先警告一下很不好吃喔。 03/29 09:59
70F：→ wohtp: 守恒定律是运动方程式层级。你把两个东西随手摆着，它们一 03/29 10:06
71F：→ wohtp: 般来说不会自己开始平移或转动，可判断运动方程式本身保证 03/29 10:06
72F：→ wohtp: 守恒。所以任何解都会满足守恒性质，怎麽碰撞不影响。 03/29 10:06
73F：→ DJWS: 感谢，我会去读。这个方向是叫做analytical mechanics吗？ 03/30 07:52
74F：→ DJWS: 我偶然找到这个关键字，然後查询相关书籍，也是找到这本书。 03/30 07:53
75F：→ DJWS: 在我认知当中，动量守恒、恢复系数可以联立，就是没有根据 03/30 07:54
76F：→ DJWS: 的事情了。恢复系数就好比故事临时追加设定，只是这个设定刚 03/30 07:55
77F：→ DJWS: 好没有出现矛盾。至於painleve conjecture则是动量守恒、 03/30 07:57
78F：→ DJWS: 库仑摩擦模型两者联立，结果在特殊情况下产生矛盾。 03/30 07:57
79F：→ DJWS: 这种多式联立的行为，是不是背後都有某些前提、某些推导？ 03/30 08:01
80F：→ DJWS: 不然感觉就是我想联立就联立，不被发现矛盾就没问题。 03/30 08:11
81F：→ DJWS: 抱歉修正一下，是painleve paradox。 03/30 09:09
82F：推 wohtp: 对称性导致守恒定律。不管你怎麽撞，力学能有没有散失，只 03/30 10:27
83F：→ wohtp: 要平移对称还在，总动量必须守恒。 03/30 10:27
84F：→ wohtp: 守恒量的价值就在於守恒。如果你随随便便可以把它们玩坏， 03/30 10:27
85F：→ wohtp: 一开始就不会把它们当成守恒量了。 03/30 10:27
86F：→ wohtp: 对称性大概就是你想找的前提吧。 03/30 10:28
87F：→ DJWS: 我找到了一本书Physics for Mathematicians: Mechanics I 03/31 08:04
88F：→ DJWS: 我发现书中作者也对物理抱有疑问，原来不是只有我这样想。 03/31 08:05
89F：→ DJWS: 另外我也读了Goldstein，这本书感觉是大杂烩，我觉得不太适 03/31 08:06
90F：→ DJWS: 合用来理解物理原理。我比较喜欢Atam Arya的古典力学，他的 03/31 08:08
91F：→ DJWS: 段落分割比较容易阅读，每个段落目的明确。 03/31 08:09
92F：→ DJWS: 然後Goldstein其实也没有仔细解释动量守恒、角动量守恒、 03/31 08:13
93F：→ DJWS: 能量这些东西是怎麽来的。刚体运动也仅仅是提到它是大量质点 03/31 08:14
94F：→ DJWS: 以及位置限制两件事情组成，没有继续深入。可能物理学家就是 03/31 08:15
95F：→ DJWS: 这样吧。 03/31 08:15
96F：→ DJWS: 至於对称性，那个应该是Noether's theorem，这个我没学会， 03/31 08:31
97F：→ DJWS: 抱歉没有办法就这点跟你讨论。 03/31 08:31