作者LukeSkywaker (路克天醒者)
看板Physics
標題[問題] 無限維度的函數內積為何能用積分表示?
時間Tue Mar 1 23:56:49 2022
目前我的理解是
function 可視為infinite-dim vector
而inner product of two vectors是vector component 兩兩相乘再相加
如果應用在function上的話
inner product of two functions 可以等於兩函數相乘再積分
https://i.imgur.com/TaQivnY.jpg
我的疑問是為什麼可以函數內積可以用積分形式表現?
因為Riemann Sum會多一個dx出來，就像下面這圖問的
https://i.imgur.com/DQlX3N3.jpg
我看網路上有很多這類的問題
但每個解答都不太一樣..... 而且看完還是不太了解在寫什麼@@
所以想請問這部分有甚麼比較layman的解釋嗎?
https://bit.ly/3Hss6fX
https://bit.ly/3svnAcj
https://bit.ly/35HUhKA
先感謝各位大神!
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1F：→ Eriri: 所以functional的inner product跟你當成離散vector然後取 03/02 00:04
2F：→ Eriri: inner product 還是不完全一樣啊 03/02 00:04
3F：→ Eriri: inner product只是個代數操作 滿足某些基本性質就好 並不 03/02 00:05
5F：→ Eriri: 只是對於function 取離散vector的方式有無窮多種阿 不加乘 03/02 00:08
6F：→ Eriri: 上一個dx 根本不是well-defined的(除非一開始定義的時候就 03/02 00:09
7F：→ Eriri: 指定要取哪些點 但那樣的話 定義出來的inner product不一定 03/02 00:09
8F：→ Eriri: 有甚麼很大的用處) 03/02 00:09
9F：推 Vulpix: 低維向量一樣有Δx在啊。只是剛好都是1。十維向量就有9個 03/02 00:22
10F：→ Vulpix: Δn，差一個而已不要太計較。 03/02 00:22
11F：→ Eriri: 但還是不能把finite vector的innter product跟functional看 03/02 00:24
12F：→ Eriri: 成一樣的阿 後者是取dx趨近0的極限 03/02 00:25
13F：推 Vulpix: 是的。但是只要一個外行解釋的話，我傾向訴諸直覺式類比 03/02 01:33
14F：→ Vulpix: 。這個詮釋不嚴謹，但應該能給人一種感受，吧。 03/02 01:33
15F：推 a547808588: 我們可以定義內積空間(inner product space)，它只要 03/02 16:53
16F：→ a547808588: 滿足某些性質就是內積，而且它可以over C 或 R 之類 03/02 16:53
17F：→ a547808588: 的。然後今天其實兩邊就是不太一樣的東西，然後這還 03/02 16:53
18F：→ a547808588: 是其中的一種內積的定義，所以只能說他拿你熟悉的東 03/02 16:53
19F：→ a547808588: 西去做對比(就是左邊的式子)事實上不能直接說是相等 03/02 16:53
20F：→ a547808588: 的 03/02 16:53
21F：→ kuromu: 看過不嚴謹的從離散到連續Fourier變換推導 03/02 17:49
22F：→ kuromu: 感覺dx藏在離散Fourier定義中了？ 03/02 17:49
23F：→ kuromu: *修正是Fourier級數 03/02 17:54
24F：推 Landau: 如果你是擔心單位的話，通常物理上會有一個normalization 03/03 21:21
25F：→ Landau: factor 03/03 21:21
感謝板上各位大神的提點! 不然我一直鬼打牆 想dx從哪裡冒出來的Orz
※ 編輯: LukeSkywaker (223.140.251.108 臺灣), 03/04/2022 01:11:43
26F：推 movingcastle: Shankar花了好幾頁解釋這個，要的話我也可以傳給你 04/10 15:43
27F：→ movingcastle: （功夫如來神掌乞丐臉 04/10 15:43
28F：→ movingcastle: 好啦其實也不能說是好幾頁，準確來說是第59頁的公 04/10 15:45
29F：→ movingcastle: 式（1.10.6’） 04/10 15:45