作者LukeSkywaker (路克天醒者)
看板Physics
标题[问题] 无限维度的函数内积为何能用积分表示?
时间Tue Mar 1 23:56:49 2022
目前我的理解是
function 可视为infinite-dim vector
而inner product of two vectors是vector component 两两相乘再相加
如果应用在function上的话
inner product of two functions 可以等於两函数相乘再积分
https://i.imgur.com/TaQivnY.jpg
我的疑问是为什麽可以函数内积可以用积分形式表现?
因为Riemann Sum会多一个dx出来，就像下面这图问的
https://i.imgur.com/DQlX3N3.jpg
我看网路上有很多这类的问题
但每个解答都不太一样..... 而且看完还是不太了解在写什麽@@
所以想请问这部分有甚麽比较layman的解释吗?
https://bit.ly/3Hss6fX
https://bit.ly/3svnAcj
https://bit.ly/35HUhKA
先感谢各位大神!
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※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc), 来自: 223.140.31.243 (台湾)
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1F：→ Eriri: 所以functional的inner product跟你当成离散vector然後取 03/02 00:04
2F：→ Eriri: inner product 还是不完全一样啊 03/02 00:04
3F：→ Eriri: inner product只是个代数操作 满足某些基本性质就好 并不 03/02 00:05
5F：→ Eriri: 只是对於function 取离散vector的方式有无穷多种阿 不加乘 03/02 00:08
6F：→ Eriri: 上一个dx 根本不是well-defined的(除非一开始定义的时候就 03/02 00:09
7F：→ Eriri: 指定要取哪些点 但那样的话 定义出来的inner product不一定 03/02 00:09
8F：→ Eriri: 有甚麽很大的用处) 03/02 00:09
9F：推 Vulpix: 低维向量一样有Δx在啊。只是刚好都是1。十维向量就有9个 03/02 00:22
10F：→ Vulpix: Δn，差一个而已不要太计较。 03/02 00:22
11F：→ Eriri: 但还是不能把finite vector的innter product跟functional看 03/02 00:24
12F：→ Eriri: 成一样的阿 後者是取dx趋近0的极限 03/02 00:25
13F：推 Vulpix: 是的。但是只要一个外行解释的话，我倾向诉诸直觉式类比 03/02 01:33
14F：→ Vulpix: 。这个诠释不严谨，但应该能给人一种感受，吧。 03/02 01:33
15F：推 a547808588: 我们可以定义内积空间(inner product space)，它只要 03/02 16:53
16F：→ a547808588: 满足某些性质就是内积，而且它可以over C 或 R 之类 03/02 16:53
17F：→ a547808588: 的。然後今天其实两边就是不太一样的东西，然後这还 03/02 16:53
18F：→ a547808588: 是其中的一种内积的定义，所以只能说他拿你熟悉的东 03/02 16:53
19F：→ a547808588: 西去做对比(就是左边的式子)事实上不能直接说是相等 03/02 16:53
20F：→ a547808588: 的 03/02 16:53
21F：→ kuromu: 看过不严谨的从离散到连续Fourier变换推导 03/02 17:49
22F：→ kuromu: 感觉dx藏在离散Fourier定义中了？ 03/02 17:49
23F：→ kuromu: *修正是Fourier级数 03/02 17:54
24F：推 Landau: 如果你是担心单位的话，通常物理上会有一个normalization 03/03 21:21
25F：→ Landau: factor 03/03 21:21
感谢板上各位大神的提点! 不然我一直鬼打墙 想dx从哪里冒出来的Orz
※ 编辑: LukeSkywaker (223.140.251.108 台湾), 03/04/2022 01:11:43
26F：推 movingcastle: Shankar花了好几页解释这个，要的话我也可以传给你 04/10 15:43
27F：→ movingcastle: （功夫如来神掌乞丐脸 04/10 15:43
28F：→ movingcastle: 好啦其实也不能说是好几页，准确来说是第59页的公 04/10 15:45
29F：→ movingcastle: 式（1.10.6’） 04/10 15:45