※ 引述《fragmentwing (片翼碎夢)》之銘言： : 維基百科 : https://reurl.cc/X4WWAa : 我注意到他一開始是用 V=L^3 aka 正立方體 的假設去推三維關係 : 那為甚麼這個推出來的關係可以用在一堆明顯不會是立方體的物體上? : 像是他舉例的白矮星和原子核都是 : 整個式子裡只有N(體積電子數密度)是用球體去推的，只要這樣就可以了嗎?為甚麼? 嗯，嚴格來說球體要重算。 先算一次長方體盒子。 把 non-interacting Fermions 關在長 a、寬 b、高 c 的盒子裡。 能階 E = ( hbar^2 * π^2 / 2m ) * ( n_x^2/a^2 + n_y^2/b^2 + n_z^2/c^2 ) 能階由低排到高，第 N 個粒子處在能階 ε_F 上。 低於 ε_F 的能量 E，在 n 空間中佔有一個 1/8 橢球區域， 該區域的體積是 πabc/6 * ( 2mε_F / hbar^2 / π^2 )^1.5， 而這個數字的兩倍當作粒子總數其實不會差太多， 因為 n_x n_y n_z 空間中的格子點均勻分佈，平均每一單位體積就有一個格子點。 （再嚴謹一點，就要估算一下上下界，反正之後也是要取熱力學極限的。） 所以 N = πV/3 * ( 2mε_F / hbar^2 / π^2 )^1.5，其中用到 V = abc。 整理一下就會回到 ε_F = hbar^2 / 2m * ( 3π^2 * N / V )^(2/3)，一樣的式子。 也來算一次球體盒子，粒子都被關在半徑 R 的球裡面。 E = ( hbar^2 / 2m ) * ( u / R )^2。 u 有點麻煩，是 spherical Bessel 的根，而且還是所有 j 的所有根。 總之，手動跑了一下數字，ε_F 大概是 hbar^2 / 2m * ( 37 * N / V )^(2/3)。 37 這個數字是近似值，沒有到很準，但實在偏離了上面的 3π^2 不少。 或許盒子的情況也有用電腦跑一下的必要吧，說不定 3π^2 其實不對？ 單純論數量級的話，球體跟長方體都能給出差不多的公式。 而做因次分析就會知道，一定只會差這樣的一個常數。 這個常數會隨形狀不同而變的話，其實並不會太令人意外，但怎麼看都是很可惜。 --- 我用相同思考方式跑 3D-box 的結果也是 37。 所以可能是我模型沒搞好，調整好的話應該可以弄出 3π^2。 又或者是 3π^2 這個值有根本上的問題，例如邊邊的影響很大。 （邊邊：對長方體來說，是那三個量子數有 0 的情況。 對球體來說，是 j 的「第 0 個」根。） 總之長方體和球體兩者是一致的，雖然不足以推論所有形狀都會一致， 但至少這是一個明確的例子，表明「3π^2 可能在一般情況下皆適用」。 --- 模型： 把所有 state 解出來，按能量從小排到大。 每組量子數可以塞兩個電子，然後開始填電子。 V：看形狀寫公式。 N：應該與 k_F^3 成正比，用回歸找比例常數。 k_F：最高能階的 wave number (= |wave vector|)。 例如球體就是 u/R，長方體就是 (n_x^2/a^2+n_y^2/b^2+n_z^2/c^2)^0.5。 很惱人的一點是，真的去排能量大小的時候很煩， 對球體來說，是 j 的「第 0 個」根。） 總之長方體和球體兩者是一致的，雖然不足以推論所有形狀都會一致， 但至少這是一個明確的例子，表明「3π^2 可能在一般情況下皆適用」。 --- 模型： 把所有 state 解出來，按能量從小排到大。 每組量子數可以塞兩個電子，然後開始填電子。 V：看形狀寫公式。 N：應該與 k_F^3 成正比，用回歸找比例常數。 k_F：最高能階的 wave number (= |wave vector|)。 例如球體就是 u/R，長方體就是 (n_x^2/a^2+n_y^2/b^2+n_z^2/c^2)^0.5。 很惱人的一點是，真的去排能量大小的時候很煩， 雖然我是手動用 excel 隨便跑到 N = 500 之類的。 我目前的算法應該是會高估沒錯，但我覺得應該不會高估那麼多。 之後有空的時候再把沒把能階填滿的 N 加進去， 看能不能把常數壓到 3π^2 吧。 --

※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 163.13.112.58 (臺灣) ※ 文章網址: https://webptt.com/m.aspx?n=bbs/Physics/M.1642446006.A.6C5.html ※ 編輯: Vulpix (163.13.112.58 臺灣), 01/18/2022 15:43:03 你說的是維度吧，形狀極端到改變維度的話那是一定會出狀況的。 切成mean free path大小就沒問題了嗎？ 那這樣的話，可能需要的是一個把空間黏在一起的時候調整能階分布的定理吧。 但我沒印象有這麼好用的定理。 ※ 編輯: Vulpix (163.13.112.58 臺灣), 01/19/2022 14:52:39 沒事了，我找到了！ https://en.wikipedia.org/wiki/Weyl_law 又叫 Weyl's asymptotic formula，這個定理就可以保證 3π^2 了，真漂亮。 領域名稱叫 spectral geometry，名稱類似的東西很多，差點找不到。 ※ 編輯: Vulpix (163.13.112.58 臺灣), 01/19/2022 15:09:24 果然是我自己忘光，黏空間的定理，有。 而且還在我的 PDE 課本上。 他也順便用這個證了二維、三維的 Weyl law。 ※ 編輯: Vulpix (163.13.112.58 臺灣), 01/21/2022 02:08:08 https://i.imgur.com/uDzFfqz.png p.327 Theorem 5 這個定理是用子區域上的 eigenvalue 來控制合併區域上的 eigenvalue。 書上沒有證完，因為沒有把怎麼用長方體逼近一塊區域的方法說分明。 當然物理上完全可以 sloppy 一點， 反正就用邊長是平均自由程的立方體去填整個區域。 ※ 編輯: Vulpix (163.13.112.58 臺灣), 01/21/2022 09:31:50 ※ 編輯: Vulpix (101.137.159.5 臺灣), 01/24/2022 00:12:03 黏也只是為了粗估 eigenvalue 而已，用黏的會不能估得很細緻。 所謂細緻是指求得精確值，至少在層層估計的過程中可以收斂到精確值， 但是黏貼的過程中是做不到的。 雖說如此，但只是要估計這個近似分佈的話，還是足夠的。 所以不能切得太細。 切過頭會讓 eigenvalue 的控制太過粗糙，有點 uncertainty principle 的味道。 主要問題是小 box 的能階能量值都很大。 比較理想的方式應該是一個 box 一個 box 去黏， 而且一開始放的 box 要盡可能地大，後續填縫隙的時候也是。 例如球體，如果不直接解能階，就要先用邊長 2R/√3 的正方體填進去。 其實我也在考慮那種「當空間同胚變形時的能階變化」， 應該也是有許多既成定理可以用的。 有 cut off 不是很令人意外，因為我們想像中的 box 其實並不存在。 光是邊界「明確」就很不可思議了。 ※ 編輯: Vulpix (163.13.112.58 臺灣), 01/25/2022 15:22:15