※ 引述《fragmentwing (片翼碎梦)》之铭言： : 维基百科 : https://reurl.cc/X4WWAa : 我注意到他一开始是用 V=L^3 aka 正立方体 的假设去推三维关系 : 那为甚麽这个推出来的关系可以用在一堆明显不会是立方体的物体上? : 像是他举例的白矮星和原子核都是 : 整个式子里只有N(体积电子数密度)是用球体去推的，只要这样就可以了吗?为甚麽? 嗯，严格来说球体要重算。 先算一次长方体盒子。 把 non-interacting Fermions 关在长 a、宽 b、高 c 的盒子里。 能阶 E = ( hbar^2 * π^2 / 2m ) * ( n_x^2/a^2 + n_y^2/b^2 + n_z^2/c^2 ) 能阶由低排到高，第 N 个粒子处在能阶 ε_F 上。 低於 ε_F 的能量 E，在 n 空间中占有一个 1/8 椭球区域， 该区域的体积是 πabc/6 * ( 2mε_F / hbar^2 / π^2 )^1.5， 而这个数字的两倍当作粒子总数其实不会差太多， 因为 n_x n_y n_z 空间中的格子点均匀分布，平均每一单位体积就有一个格子点。 （再严谨一点，就要估算一下上下界，反正之後也是要取热力学极限的。） 所以 N = πV/3 * ( 2mε_F / hbar^2 / π^2 )^1.5，其中用到 V = abc。 整理一下就会回到 ε_F = hbar^2 / 2m * ( 3π^2 * N / V )^(2/3)，一样的式子。 也来算一次球体盒子，粒子都被关在半径 R 的球里面。 E = ( hbar^2 / 2m ) * ( u / R )^2。 u 有点麻烦，是 spherical Bessel 的根，而且还是所有 j 的所有根。 总之，手动跑了一下数字，ε_F 大概是 hbar^2 / 2m * ( 37 * N / V )^(2/3)。 37 这个数字是近似值，没有到很准，但实在偏离了上面的 3π^2 不少。 或许盒子的情况也有用电脑跑一下的必要吧，说不定 3π^2 其实不对？ 单纯论数量级的话，球体跟长方体都能给出差不多的公式。 而做因次分析就会知道，一定只会差这样的一个常数。 这个常数会随形状不同而变的话，其实并不会太令人意外，但怎麽看都是很可惜。 --- 我用相同思考方式跑 3D-box 的结果也是 37。 所以可能是我模型没搞好，调整好的话应该可以弄出 3π^2。 又或者是 3π^2 这个值有根本上的问题，例如边边的影响很大。 （边边：对长方体来说，是那三个量子数有 0 的情况。 对球体来说，是 j 的「第 0 个」根。） 总之长方体和球体两者是一致的，虽然不足以推论所有形状都会一致， 但至少这是一个明确的例子，表明「3π^2 可能在一般情况下皆适用」。 --- 模型： 把所有 state 解出来，按能量从小排到大。 每组量子数可以塞两个电子，然後开始填电子。 V：看形状写公式。 N：应该与 k_F^3 成正比，用回归找比例常数。 k_F：最高能阶的 wave number (= |wave vector|)。 例如球体就是 u/R，长方体就是 (n_x^2/a^2+n_y^2/b^2+n_z^2/c^2)^0.5。 很恼人的一点是，真的去排能量大小的时候很烦， 对球体来说，是 j 的「第 0 个」根。） 总之长方体和球体两者是一致的，虽然不足以推论所有形状都会一致， 但至少这是一个明确的例子，表明「3π^2 可能在一般情况下皆适用」。 --- 模型： 把所有 state 解出来，按能量从小排到大。 每组量子数可以塞两个电子，然後开始填电子。 V：看形状写公式。 N：应该与 k_F^3 成正比，用回归找比例常数。 k_F：最高能阶的 wave number (= |wave vector|)。 例如球体就是 u/R，长方体就是 (n_x^2/a^2+n_y^2/b^2+n_z^2/c^2)^0.5。 很恼人的一点是，真的去排能量大小的时候很烦， 虽然我是手动用 excel 随便跑到 N = 500 之类的。 我目前的算法应该是会高估没错，但我觉得应该不会高估那麽多。 之後有空的时候再把没把能阶填满的 N 加进去， 看能不能把常数压到 3π^2 吧。 --

※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc), 来自: 163.13.112.58 (台湾) ※ 文章网址: https://webptt.com/cn.aspx?n=bbs/Physics/M.1642446006.A.6C5.html ※ 编辑: Vulpix (163.13.112.58 台湾), 01/18/2022 15:43:03 你说的是维度吧，形状极端到改变维度的话那是一定会出状况的。 切成mean free path大小就没问题了吗？ 那这样的话，可能需要的是一个把空间黏在一起的时候调整能阶分布的定理吧。 但我没印象有这麽好用的定理。 ※ 编辑: Vulpix (163.13.112.58 台湾), 01/19/2022 14:52:39 没事了，我找到了！ https://en.wikipedia.org/wiki/Weyl_law 又叫 Weyl's asymptotic formula，这个定理就可以保证 3π^2 了，真漂亮。 领域名称叫 spectral geometry，名称类似的东西很多，差点找不到。 ※ 编辑: Vulpix (163.13.112.58 台湾), 01/19/2022 15:09:24 果然是我自己忘光，黏空间的定理，有。 而且还在我的 PDE 课本上。 他也顺便用这个证了二维、三维的 Weyl law。 ※ 编辑: Vulpix (163.13.112.58 台湾), 01/21/2022 02:08:08 https://i.imgur.com/uDzFfqz.png p.327 Theorem 5 这个定理是用子区域上的 eigenvalue 来控制合并区域上的 eigenvalue。 书上没有证完，因为没有把怎麽用长方体逼近一块区域的方法说分明。 当然物理上完全可以 sloppy 一点， 反正就用边长是平均自由程的立方体去填整个区域。 ※ 编辑: Vulpix (163.13.112.58 台湾), 01/21/2022 09:31:50 ※ 编辑: Vulpix (101.137.159.5 台湾), 01/24/2022 00:12:03 黏也只是为了粗估 eigenvalue 而已，用黏的会不能估得很细致。 所谓细致是指求得精确值，至少在层层估计的过程中可以收敛到精确值， 但是黏贴的过程中是做不到的。 虽说如此，但只是要估计这个近似分布的话，还是足够的。 所以不能切得太细。 切过头会让 eigenvalue 的控制太过粗糙，有点 uncertainty principle 的味道。 主要问题是小 box 的能阶能量值都很大。 比较理想的方式应该是一个 box 一个 box 去黏， 而且一开始放的 box 要尽可能地大，後续填缝隙的时候也是。 例如球体，如果不直接解能阶，就要先用边长 2R/√3 的正方体填进去。 其实我也在考虑那种「当空间同胚变形时的能阶变化」， 应该也是有许多既成定理可以用的。 有 cut off 不是很令人意外，因为我们想像中的 box 其实并不存在。 光是边界「明确」就很不可思议了。 ※ 编辑: Vulpix (163.13.112.58 台湾), 01/25/2022 15:22:15