※ 引述《mantour (朱子)》之銘言： : ※ 引述《crazyjonas ()》之銘言： : : 今天有學生問我，瞬時的情況下， : : 由於來不及轉彎，只能走直線，所以位移大小等於路徑長， : : 那如果將許多的瞬時加總，每一段瞬時都只能走直線，那轉彎到底是如何發生的呢？ : : 似乎有點矛盾？ : : 後來我想或許是與運動獨立性有關， : : 或許可以將弧線軌跡以互垂直的兩基底來分解，兩基底的向量在瞬時中還是各走直線？ : : 想請問版上高手的看法，謝謝 : : ---- : : Sent from BePTT on my Samsung SM-A5260 : 考慮一個圓周運動 : 在圓內畫出內接正n邊形 : 當n很大時, 正n邊形的邊長 a_n , 會越來越接近兩個頂點之間的弧長 2piR/n : 也就是當 n 很大時, a_n - 2piR/n 趨近於 0 ........ (1) : 不但如此, 如果把所有邊長加起來時, 內接正n邊形的周長,也會越來越接近圓周長 : 也就是當n很大時, n*a_n - 2piR 還是趨近於 0 ....... (2) 用正n邊形的周長去趨近圓周長時， 不只看內接正n邊形，還要看外切正n邊形吧 正確的條件應該是 n*a外切_n - n*a內接_n 趨近於 0 : 在計算曲線的長度時, 我們說可以把曲線當作很多小段直線去算 : 要能這樣算, 只滿足 (1) 是不夠的, 因為每一小段的誤差會累加起來, : 即使每一小段的誤差都非常小, 很多小段累積起來也可能變成很大的誤差 : 必須要滿足(2), 才能保證很多片段加起來, 誤差還是小到可以忽略 如果L=-(a_n - 2piR/n)趨近於0 則在N有限的情形下N*L還是趨近於0 也就是說，取一個足夠大但有限的n使得公式(1)成立時， 公式(2)必然也會成立。 當n為無窮大時，L就會變成無窮小的數並使得公式(1)成立。 這時公式(2)變成一個無窮大乘以無窮小的結果。 而其結果視兩個數的階比較會有無窮小、常數、無窮大三種。 以公式(2)的情形，其結果為無窮小，也趨近於0的數。 也就是說，無論如何當公式(1)成立時，公式(2)必然成立。 既然沒有公式(1)成立而公式(2)不成立的情形。 只要考慮是否滿足公式(1)或公式(2)其中之一就好，不用去檢查另一個是否滿足。 : 現在換一個問題 : 我要計算的如果是沿著正多邊形走一圈, 面朝方向旋轉的角度 : 沿著正多邊形的邊長走, 到頂點才轉彎, 每次轉彎的度數是 2pi/n : 當n很大時, 2pi/n 會趨近於 0 ......(3) : 那我可不可以說, 因為每次幾乎都沒有轉, 所以全部加起來也沒有轉呢? : 答案是不行. 因為你知道不管n多大, 每個頂點轉的角度全部加起來會是 : n* 2pi/n = 2pi ......(4) : 也就是不管你分多細, 繞一圈的角度加起來還是等於2pi. : 也就是說 : "n很大時 邊長 - 弧長 的誤差趨近於0" : 跟 : "n很大時 每次轉彎的角度趨近於0" : 這兩種誤差 "趨近於0" 是有本質上的不同. : 具體來說: : 第一種誤差是 誤差乘以 n 之後 還是會趨近於0 : 第二種誤差是 誤差乘以 n 之後 就不趨近於0了 不論n大不大，2pi/n都不是誤差吧!! pi=180度 n=3時，2pi/n=120度 n=4時，2pi/n=90度 n=5時，2pi/n=72度 n=6時，2pi/n=60度 n=7時，2pi/n=51.428571.............度 n=36000時，2pi/n=0.01度 : 並不是只要 n很大時 , 誤差會趨近於0 , 就代表這樣的誤差都可以忽略 : 當你需要把很多小段加起來算總和的時候, 只有第一種誤差可以忽略, 第二種不能忽略 : 而直線和弧線的差別, 可不可以忽略, 要看你要算的是什麼, : 要算路徑長度或速度時可以忽略, 但是要算沿著路徑轉彎的角度時, 誤差就不能忽略. 不是所有很小的數都是誤差好嗎 既然正n邊形的每個頂點旋轉的角度不是誤差(無論角度多小)。 自然沒有可不可以忽略的問題。 還有要先搞清楚是數學理論上產生的誤差，還是數值計算上產生的誤差。 這兩者是有差別的。 基本上瞬時速度還是速度的一種， 高中物理課本中的速度V公式常寫作 V=S/T 常翻譯為"速度 = 位移 除以 時間" 但嚴格說起來，應該寫作V=S/(delta_t)， 翻譯為"速度 = 位移 除以 時間變化量"，而位移S是位置變化量。 原PO的問題是，把計算上或圖示上的方便跟物理上的意義搞混在一起。 就算是"瞬時"其實也是"一段區間"。 當區間與區間的速度方向發生改變時，自然就會出現"轉彎"。 而會產生這樣的疑問，是因為1.高中物理上常常沒把t跟delta_t分清楚 2.極限limit的概念放在數學課本 所以，如果學生啥都不想，老師怎麼做就依樣畫葫蘆，不會產生疑問。 學生想得很仔細，把1.跟2.都搞懂，不會產生疑問。 但如果，老師講解不夠仔細，學生又會想，那就可能會產生疑問了。 -- 山巔一寺一壺酒 嶁頂六萼六林柳 --

※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 111.254.20.40 (臺灣) ※ 文章網址: https://webptt.com/m.aspx?n=bbs/Physics/M.1632962296.A.E53.html ※ 編輯: cloudwolf (111.254.20.40 臺灣), 09/30/2021 08:49:46 照你的解釋"瞬時"根本不存在不是嗎?? 因為當delta_t=\=0時，只是一個平均的極限，不等於"瞬時" 而當delta_t=0時，一切都不會有變化。 所以"瞬時"並不存在於真實世界。 那物理學上那何必討論一個根本不存在的事件。 還為一個不存在的事件，取一個代號"瞬時"。 回到原PO的問題 "那如果將許多的瞬時加總，每一段瞬時都只能走直線，那轉彎到底是如何發生的呢？" 而會有這樣的疑問，是出至於一開始的這句話: "由於來不及轉彎，只能走直線，所以位移大小等於路徑長" 上面這句話，就是後續疑問的原點。 而這句話，基本上邏輯就是錯誤的。 以圓周運動來看，無論"瞬時"的時間區間取的多小。 其運動軌跡，依舊是圓周的一部分，其路徑依舊是曲線。 轉彎還是發生了，而且一直都在 而計算瞬時速度所需要的位移，如果用三角函數與曲率半徑去做計算。 太過於複雜而且麻煩。 於是借用了數學阿基米德割圓術算圓周率時的過程。 反過來，用路徑取代位移。 簡單的說，阿基米德是用正多邊形的邊長去逼近弧長。 而在處理圓周運動的瞬時速度時， 我們反過來是用路徑長(弧長)去取代位移量(正多邊形的邊長)。 其合理性 "1.路徑與位移的差是否可以忽略、2.路徑曲線的切線方向與位移的方向是否相同" ，阿基米德已經幫我們證明過了。 所以開頭的那句話 "由於來不及轉彎，只能走直線，所以位移大小等於路徑長" 應該修正為 "考慮到瞬時狀態下的位移量很難算，所以用瞬時的路徑長取代位移量去做計算" "同時用路徑的切線方向去取代位移量的方向" 從這個角度去看，每一個瞬時速度的方向都不相同， 累加起來，當然就轉彎(方向改變)啦。 ※ 編輯: cloudwolf (111.254.20.40 臺灣), 09/30/2021 22:18:55