※ 引述《mantour (朱子)》之铭言： : ※ 引述《crazyjonas ()》之铭言： : : 今天有学生问我，瞬时的情况下， : : 由於来不及转弯，只能走直线，所以位移大小等於路径长， : : 那如果将许多的瞬时加总，每一段瞬时都只能走直线，那转弯到底是如何发生的呢？ : : 似乎有点矛盾？ : : 後来我想或许是与运动独立性有关， : : 或许可以将弧线轨迹以互垂直的两基底来分解，两基底的向量在瞬时中还是各走直线？ : : 想请问版上高手的看法，谢谢 : : ---- : : Sent from BePTT on my Samsung SM-A5260 : 考虑一个圆周运动 : 在圆内画出内接正n边形 : 当n很大时, 正n边形的边长 a_n , 会越来越接近两个顶点之间的弧长 2piR/n : 也就是当 n 很大时, a_n - 2piR/n 趋近於 0 ........ (1) : 不但如此, 如果把所有边长加起来时, 内接正n边形的周长,也会越来越接近圆周长 : 也就是当n很大时, n*a_n - 2piR 还是趋近於 0 ....... (2) 用正n边形的周长去趋近圆周长时， 不只看内接正n边形，还要看外切正n边形吧 正确的条件应该是 n*a外切_n - n*a内接_n 趋近於 0 : 在计算曲线的长度时, 我们说可以把曲线当作很多小段直线去算 : 要能这样算, 只满足 (1) 是不够的, 因为每一小段的误差会累加起来, : 即使每一小段的误差都非常小, 很多小段累积起来也可能变成很大的误差 : 必须要满足(2), 才能保证很多片段加起来, 误差还是小到可以忽略 如果L=-(a_n - 2piR/n)趋近於0 则在N有限的情形下N*L还是趋近於0 也就是说，取一个足够大但有限的n使得公式(1)成立时， 公式(2)必然也会成立。 当n为无穷大时，L就会变成无穷小的数并使得公式(1)成立。 这时公式(2)变成一个无穷大乘以无穷小的结果。 而其结果视两个数的阶比较会有无穷小、常数、无穷大三种。 以公式(2)的情形，其结果为无穷小，也趋近於0的数。 也就是说，无论如何当公式(1)成立时，公式(2)必然成立。 既然没有公式(1)成立而公式(2)不成立的情形。 只要考虑是否满足公式(1)或公式(2)其中之一就好，不用去检查另一个是否满足。 : 现在换一个问题 : 我要计算的如果是沿着正多边形走一圈, 面朝方向旋转的角度 : 沿着正多边形的边长走, 到顶点才转弯, 每次转弯的度数是 2pi/n : 当n很大时, 2pi/n 会趋近於 0 ......(3) : 那我可不可以说, 因为每次几乎都没有转, 所以全部加起来也没有转呢? : 答案是不行. 因为你知道不管n多大, 每个顶点转的角度全部加起来会是 : n* 2pi/n = 2pi ......(4) : 也就是不管你分多细, 绕一圈的角度加起来还是等於2pi. : 也就是说 : "n很大时 边长 - 弧长 的误差趋近於0" : 跟 : "n很大时 每次转弯的角度趋近於0" : 这两种误差 "趋近於0" 是有本质上的不同. : 具体来说: : 第一种误差是 误差乘以 n 之後 还是会趋近於0 : 第二种误差是 误差乘以 n 之後 就不趋近於0了 不论n大不大，2pi/n都不是误差吧!! pi=180度 n=3时，2pi/n=120度 n=4时，2pi/n=90度 n=5时，2pi/n=72度 n=6时，2pi/n=60度 n=7时，2pi/n=51.428571.............度 n=36000时，2pi/n=0.01度 : 并不是只要 n很大时 , 误差会趋近於0 , 就代表这样的误差都可以忽略 : 当你需要把很多小段加起来算总和的时候, 只有第一种误差可以忽略, 第二种不能忽略 : 而直线和弧线的差别, 可不可以忽略, 要看你要算的是什麽, : 要算路径长度或速度时可以忽略, 但是要算沿着路径转弯的角度时, 误差就不能忽略. 不是所有很小的数都是误差好吗 既然正n边形的每个顶点旋转的角度不是误差(无论角度多小)。 自然没有可不可以忽略的问题。 还有要先搞清楚是数学理论上产生的误差，还是数值计算上产生的误差。 这两者是有差别的。 基本上瞬时速度还是速度的一种， 高中物理课本中的速度V公式常写作 V=S/T 常翻译为"速度 = 位移 除以 时间" 但严格说起来，应该写作V=S/(delta_t)， 翻译为"速度 = 位移 除以 时间变化量"，而位移S是位置变化量。 原PO的问题是，把计算上或图示上的方便跟物理上的意义搞混在一起。 就算是"瞬时"其实也是"一段区间"。 当区间与区间的速度方向发生改变时，自然就会出现"转弯"。 而会产生这样的疑问，是因为1.高中物理上常常没把t跟delta_t分清楚 2.极限limit的概念放在数学课本 所以，如果学生啥都不想，老师怎麽做就依样画葫芦，不会产生疑问。 学生想得很仔细，把1.跟2.都搞懂，不会产生疑问。 但如果，老师讲解不够仔细，学生又会想，那就可能会产生疑问了。 -- 山巅一寺一壶酒 嵝顶六萼六林柳 --

※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc), 来自: 111.254.20.40 (台湾) ※ 文章网址: https://webptt.com/cn.aspx?n=bbs/Physics/M.1632962296.A.E53.html ※ 编辑: cloudwolf (111.254.20.40 台湾), 09/30/2021 08:49:46 照你的解释"瞬时"根本不存在不是吗?? 因为当delta_t=\=0时，只是一个平均的极限，不等於"瞬时" 而当delta_t=0时，一切都不会有变化。 所以"瞬时"并不存在於真实世界。 那物理学上那何必讨论一个根本不存在的事件。 还为一个不存在的事件，取一个代号"瞬时"。 回到原PO的问题 "那如果将许多的瞬时加总，每一段瞬时都只能走直线，那转弯到底是如何发生的呢？" 而会有这样的疑问，是出至於一开始的这句话: "由於来不及转弯，只能走直线，所以位移大小等於路径长" 上面这句话，就是後续疑问的原点。 而这句话，基本上逻辑就是错误的。 以圆周运动来看，无论"瞬时"的时间区间取的多小。 其运动轨迹，依旧是圆周的一部分，其路径依旧是曲线。 转弯还是发生了，而且一直都在 而计算瞬时速度所需要的位移，如果用三角函数与曲率半径去做计算。 太过於复杂而且麻烦。 於是借用了数学阿基米德割圆术算圆周率时的过程。 反过来，用路径取代位移。 简单的说，阿基米德是用正多边形的边长去逼近弧长。 而在处理圆周运动的瞬时速度时， 我们反过来是用路径长(弧长)去取代位移量(正多边形的边长)。 其合理性 "1.路径与位移的差是否可以忽略、2.路径曲线的切线方向与位移的方向是否相同" ，阿基米德已经帮我们证明过了。 所以开头的那句话 "由於来不及转弯，只能走直线，所以位移大小等於路径长" 应该修正为 "考虑到瞬时状态下的位移量很难算，所以用瞬时的路径长取代位移量去做计算" "同时用路径的切线方向去取代位移量的方向" 从这个角度去看，每一个瞬时速度的方向都不相同， 累加起来，当然就转弯(方向改变)啦。 ※ 编辑: cloudwolf (111.254.20.40 台湾), 09/30/2021 22:18:55