※ 引述《crazyjonas ()》之銘言： : 今天有學生問我，瞬時的情況下， : 由於來不及轉彎，只能走直線，所以位移大小等於路徑長， : 那如果將許多的瞬時加總，每一段瞬時都只能走直線，那轉彎到底是如何發生的呢？ : 似乎有點矛盾？ : 後來我想或許是與運動獨立性有關， : 或許可以將弧線軌跡以互垂直的兩基底來分解，兩基底的向量在瞬時中還是各走直線？ : 想請問版上高手的看法，謝謝 : ---- : Sent from BePTT on my Samsung SM-A5260 考慮一個圓周運動 在圓內畫出內接正n邊形 當n很大時, 正n邊形的邊長 a_n , 會越來越接近兩個頂點之間的弧長 2piR/n 也就是當 n 很大時, a_n - 2piR/n 趨近於 0 ........ (1) 不但如此, 如果把所有邊長加起來時, 內接正n邊形的周長,也會越來越接近圓周長 也就是當n很大時, n*a_n - 2piR 還是趨近於 0 ....... (2) 在計算曲線的長度時, 我們說可以把曲線當作很多小段直線去算 要能這樣算, 只滿足 (1) 是不夠的, 因為每一小段的誤差會累加起來, 即使每一小段的誤差都非常小, 很多小段累積起來也可能變成很大的誤差 必須要滿足(2), 才能保證很多片段加起來, 誤差還是小到可以忽略 現在換一個問題 我要計算的如果是沿著正多邊形走一圈, 面朝方向旋轉的角度 沿著正多邊形的邊長走, 到頂點才轉彎, 每次轉彎的度數是 2pi/n 當n很大時, 2pi/n 會趨近於 0 ......(3) 那我可不可以說, 因為每次幾乎都沒有轉, 所以全部加起來也沒有轉呢? 答案是不行. 因為你知道不管n多大, 每個頂點轉的角度全部加起來會是 n* 2pi/n = 2pi ......(4) 也就是不管你分多細, 繞一圈的角度加起來還是等於2pi. 也就是說 "n很大時 邊長 - 弧長 的誤差趨近於0" 跟 "n很大時 每次轉彎的角度趨近於0" 這兩種誤差 "趨近於0" 是有本質上的不同. 具體來說: 第一種誤差是 誤差乘以 n 之後 還是會趨近於0 第二種誤差是 誤差乘以 n 之後 就不趨近於0了 並不是只要 n很大時 , 誤差會趨近於0 , 就代表這樣的誤差都可以忽略 當你需要把很多小段加起來算總和的時候, 只有第一種誤差可以忽略, 第二種不能忽略 而直線和弧線的差別, 可不可以忽略, 要看你要算的是什麼, 要算路徑長度或速度時可以忽略, 但是要算沿著路徑轉彎的角度時, 誤差就不能忽略. --

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