※ 引述《crazyjonas ()》之铭言： : 今天有学生问我，瞬时的情况下， : 由於来不及转弯，只能走直线，所以位移大小等於路径长， : 那如果将许多的瞬时加总，每一段瞬时都只能走直线，那转弯到底是如何发生的呢？ : 似乎有点矛盾？ : 後来我想或许是与运动独立性有关， : 或许可以将弧线轨迹以互垂直的两基底来分解，两基底的向量在瞬时中还是各走直线？ : 想请问版上高手的看法，谢谢 : ---- : Sent from BePTT on my Samsung SM-A5260 考虑一个圆周运动 在圆内画出内接正n边形 当n很大时, 正n边形的边长 a_n , 会越来越接近两个顶点之间的弧长 2piR/n 也就是当 n 很大时, a_n - 2piR/n 趋近於 0 ........ (1) 不但如此, 如果把所有边长加起来时, 内接正n边形的周长,也会越来越接近圆周长 也就是当n很大时, n*a_n - 2piR 还是趋近於 0 ....... (2) 在计算曲线的长度时, 我们说可以把曲线当作很多小段直线去算 要能这样算, 只满足 (1) 是不够的, 因为每一小段的误差会累加起来, 即使每一小段的误差都非常小, 很多小段累积起来也可能变成很大的误差 必须要满足(2), 才能保证很多片段加起来, 误差还是小到可以忽略 现在换一个问题 我要计算的如果是沿着正多边形走一圈, 面朝方向旋转的角度 沿着正多边形的边长走, 到顶点才转弯, 每次转弯的度数是 2pi/n 当n很大时, 2pi/n 会趋近於 0 ......(3) 那我可不可以说, 因为每次几乎都没有转, 所以全部加起来也没有转呢? 答案是不行. 因为你知道不管n多大, 每个顶点转的角度全部加起来会是 n* 2pi/n = 2pi ......(4) 也就是不管你分多细, 绕一圈的角度加起来还是等於2pi. 也就是说 "n很大时 边长 - 弧长 的误差趋近於0" 跟 "n很大时 每次转弯的角度趋近於0" 这两种误差 "趋近於0" 是有本质上的不同. 具体来说: 第一种误差是 误差乘以 n 之後 还是会趋近於0 第二种误差是 误差乘以 n 之後 就不趋近於0了 并不是只要 n很大时 , 误差会趋近於0 , 就代表这样的误差都可以忽略 当你需要把很多小段加起来算总和的时候, 只有第一种误差可以忽略, 第二种不能忽略 而直线和弧线的差别, 可不可以忽略, 要看你要算的是什麽, 要算路径长度或速度时可以忽略, 但是要算沿着路径转弯的角度时, 误差就不能忽略. --

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