小弟寫了一篇關於溫度的文章 希望能娛樂到你各位 還請各位大大鞭小力一點 ※Medium圖文好讀版 https://link.medium.com/v7FdyHhA6gb --------正文開始--------- 什麼是溫度？這個再平凡不過的問題，其實也有著深刻的答案。除了 T 台的記者以外，大部分的人應該都知道溫度就是我們用溫度計量到的數值。 回味一下經典不敗的新聞畫面: https://imgur.com/TzZQsaO 這個直接了當的操作型定義，可能是在國小自然課中習得的知識，並廣泛的應用在我們的日常生活，不過，當我們越學越多，就會知道溫度其實比想像中來得複雜。 首先是高中物理有教過氣體的分子平均動能為 3kT/2 ，其中 k 是波茲曼常數，T 則是氣體的溫度。然而，當時在課程當中也許沒有特別強調的是，這些氣體分子其實每一個的動能都不一樣，有的快、有的慢，並且一同處在一個熱平衡的狀態，而溫度，是一個巨觀（Macroscopic）的物理量，並不是這群分子當中跑得快的分子其溫度就比較高，而是這群有快有慢達平衡的分子們共同展現了一個為其平均動能乘上 2/(3k)的溫度。讓我們用個具象的比喻來了解這是怎麼一回事。 ※熱平衡與黑體輻射 在 1970 年一月的《科學月刊》創刊號中，沈君山老師寫了一篇名為《3K黑體輻射》的文章。四十年後，高涌泉老師於 2011 年 12 月的《科學人》 118 期開始連續三期的形上集撰寫了三篇《沈君山解說黑體輻射（一 / 二 / 三）》的文章，來重新談論這個問題。他們在文章中是這麼說的： 讓我們想像一組理想無阻力的撞球與球檯，開球的瞬間，母球以高速前進，帶有龐大的動能，在母球撞到子球們後，所有的球開始散開，並不斷地互相撞擊、交換能量，由於沒有阻力，這些球將持續地在球檯上滾動與碰撞，最終達到一個動態平衡的狀態，在這個平衡態下，並不會所有的球都有相同的速度，而是有些跑得快，有些動得慢。那我們怎麼說這些撞球達到平衡了呢？若將累計的球數對其速度做圖，我們會得到一個速度分佈。可以想見在一開始的時候，這個分佈呈現兩個尖尖的峰值，其一是速度為零的15顆子球，另有速度很快的母球一顆，然而當球開始互相撞擊，這 個分佈就開始改變，各種速度的球數開始或增或減，直到最終這個速度分佈呈現一個幾乎固定的分佈，我們就可以說這些球達 “熱” 平衡了。而對應的 “溫度”，可以由這個速度分佈求出。如果把這些球換成一個個的氣體分子，整個情境就非常接近我們所熟悉的熱平衡過程。比如將兩盒溫度不同的理想氣體相接觸，氣體就能透過中間的隔板交換動能，其氣體分子動能分佈最終達到一個新的平衡，而有著新的溫度。 那這跟黑體輻射（Black-body radiation）或稱空腔輻射（Cavity radiation）又有什麼關係呢？事實上所謂的黑體輻射就是一群達熱平衡的光子，這些光子有的能量大，有的能量小（其能量正比於光子的頻率即 E=hf ），整體的光子數量（光強度）對頻率的分佈由這群光子共同表現的溫度來決定，如下圖就繪製了不同溫度所對應的分佈曲線。 https://imgur.com/0RYkwgz 所以在這裡再次強調，根據目前為止的討論，溫度是一個巨觀的物理量，並不能單看個別分子的動能就知道他的溫度，而是一群有快有慢達平衡的分子們共同擁有一個溫度，我們可以將溫度視為平衡狀態下一群分子能量分佈曲線的一個參數。 但你可能會問，那溫度高低又是什麼意思呢？我們不是都學過熱能會從溫度高的東西流向溫度低的地方嗎？就讓我們更進一步地從統計力學的觀點來討論什麼是溫度。 ※統計力學中的溫度 在統計力學中，我們對於溫度的定義，會圍繞在一個核心價值，就是： 當兩物體接觸時，能量會趨向從溫度高的物體流向溫度低的物體 但是，怎麼看出能量想往哪去呢？這時我們就需要借助熵（Entropy）的概念。 ※熵（Entropy） 熵 S 是一個巨觀物理量，是對於該巨觀狀態所擁有之微觀狀態數的一個度量。用數學式可以表示為： S=k ln(Ω) 其中 k=1.380649x10^-23 J/K 是波茲曼常數，也是熵的單位；ln 是自然對數，也就是告訴我們一個數是 Euler’s number e=2.71828……的幾次方。比如若 Ω=e^3，ln(Ω)就等於3。 這裡的 S 是某個巨觀狀態的熵，Ω 則為該巨觀狀態所擁有的微觀狀態數，以下舉一個例子讓大家熟悉一下： 假設現在的系統是兩個盒子與古典的小球們，如下圖所示，在只有一個小球的這個巨觀狀態下可能出現的微觀狀態就兩種，小球不是在左邊的盒子，就是在右邊的盒子，我們記做 Ω(N=1)=2 ，其中 N 為小球的數目，也是我們標示巨觀狀態的方式。 https://imgur.com/PdiNoUC 而在有兩個小球（N=2）的巨觀狀態，有四種可能的微觀狀態，如上圖右半邊所示，記做 Ω(N=2)=4。依此類推，有 N 個小球的巨觀狀態，其微觀狀態數即是 2 的 N 次方種，而對應的熵透過下列計算可得是 k N ln(2)，正比於 N。 https://imgur.com/EDFaUaU 在這個例子中我們觀察到，當小球的數量逐漸增加，微觀狀態數也跟著增加，在許多的系統中，我們都能看到類似的特性。比方說一個盒子的理想氣體，其中各個分子的各種能量狀態（動得快、動得慢、朝三維空間不同方向運動）就可以類比成上例中的盒子（兩種選擇）；而上例中的小球數量 N，可以比擬成該盒中理想氣體的總能量 E。當氣體的總能量 E 越大時，這些能量就能以更多不同的排列組合方式分配到各個氣體分子上（就像上例中越多的小球就能以更多不同排列組合方式分配到兩個盒子中），因此所對應的微觀狀態數 Ω 也越大，熵 S 當然就跟著越大。 ※統計力學中的溫度 現在，我要先寫下統計力學中溫度的定義，再慢慢解釋為什麼這是個合理的定義。溫度在統計力學中定義為： 1/T = ∂S/∂E 其中 T 是溫度（絕對溫度、凱氏溫標），S 是熵，E 是能量。我們將會看到這個定義自然地給出 “當兩物體接觸時，能量會趨向從溫度高的物體流向溫度低的物體” 這個結果。 我們以一個盒子的理想氣體為例，∂S/∂E 就代表了當我多灌入系統一點點能量，他的熵會增加多少，這同時反映了其微觀狀態數會增加多少。溫度越低的系統，他的 1/T = ∂S/∂E 就越大，這就表示有一點點的能量流入後，該系統的微觀狀態數就會多很多，再根據統計力學的基本假設 — 每個允許的微觀狀態出現的機率都是一樣的，我們就知道溫度低的系統會有比較大的機會獲得能量，或者說，低溫系統在獲得能量後，會比較不想失去能量！同理可套用在高溫系統上，就不加贅述。 若我們將高溫系統與低溫系統熱接觸，整體的總系統會最大化總系統的熵（即最大化對應的總微觀狀態數），這個過程可以透過將能量由高溫流向低溫來達到。因為高溫系統失去 ΔE 的能量時減少的熵比低溫系統獲得 ΔE 的能量時所增加的熵要來得少，所以當能量從高溫流向低溫時，總能雖然是固定的，但整體的熵確是上升的。也就代表這是一個自然發生的方向。（實際的因果應該倒過來講，微觀來看，能量有時候會從低溫流向高溫，有時候會從高溫流向低溫，但因為後者發生過後系統的微觀狀態數或熵會增加，所以發生的機率比較大，因此在經過一段時間後平均而言能量會比較想從高溫流向低溫）。 透過這樣的微觀溫度定義，對於一個新的系統，我們就可以先寫下其微觀狀態數對總內能的函數 Ω(E) ，取 ln 乘上 k 便得到熵對總內能的函數 S(E)，將其對總內能微分再取倒數，便能計算溫度對總內能的函數 T(E)，我們就能知道一個系統在特定總能量的時候，他的溫度是多少。比如理想氣體分子總內能與溫度的關係 T=(2E)/(3NK) 就能由每個氣體分子處於不同位置與速度的微觀狀態數對總能的函數Ω(E)推導出來。但不要忘記！這一切都是在熱平衡狀態下的計算。 ※比正溫度還熱的負溫度 最後，老師可能提過絕對零度（0K）是這世界上最冷的溫度，但根據上面溫度的定義，如果有系統的微觀狀態數會隨著內能增加而減少， ∂S/∂E 不就小於零嗎？難道我們會有負的絕對溫度嗎？答案是對的！在一些特殊的系統，我們會有負的絕對溫度，不過這些負的絕對溫度比所有正的絕對溫度都還要來得熱！！因為當我們塞給該系統 ΔE 的能量時，他的熵不只是增加的比較少，甚至會不增反減，也就是跟所有正絕對溫度的系統比，能量是更不想流入的！所以他比 +∞K 還要來得更熱。具體來說就是當-15K跟+15K的東西相接觸，能量會從-15K的東西流向+15K的東西。你可能會覺得好像怪怪的，不過這是因為在上面式子出現的是 1/T 的緣故， 1/T 由正至零再到負的值對應的溫度是越來越高，所以在跨越 1/T=0 的點，T 會從+∞K跳到-∞K。 那有沒有實際微觀狀態數會隨著內能增加而減少的例子呢？可以參考下圖中的磁性系統： https://imgur.com/hOvEICJ 這個系統有許多的紅色小磁鐵（也許是帶自旋的粒子）與外加磁場 B 組成，當小磁鐵的方向（箭號）與外加磁場平行時，該小磁鐵處在高能狀態，反之則為低能狀態，系統的總能就是各個小磁鐵的能量加總。所以當全部小磁鐵指向上的時候，能量最高（圖左）；指向下時能量最低（圖右）。你會發現，這個系統從能量一半到能量最高的過程中（由圖中轉為圖左）能量在曾加，可是可能的微觀狀態數卻在減少！！！，∂S/∂E < 0 ，也就是其絕對溫度是負的了。 --

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