小弟写了一篇关於温度的文章 希望能娱乐到你各位 还请各位大大鞭小力一点 ※Medium图文好读版 https://link.medium.com/v7FdyHhA6gb --------正文开始--------- 什麽是温度？这个再平凡不过的问题，其实也有着深刻的答案。除了 T 台的记者以外，大部分的人应该都知道温度就是我们用温度计量到的数值。 回味一下经典不败的新闻画面: https://imgur.com/TzZQsaO 这个直接了当的操作型定义，可能是在国小自然课中习得的知识，并广泛的应用在我们的日常生活，不过，当我们越学越多，就会知道温度其实比想像中来得复杂。 首先是高中物理有教过气体的分子平均动能为 3kT/2 ，其中 k 是波兹曼常数，T 则是气体的温度。然而，当时在课程当中也许没有特别强调的是，这些气体分子其实每一个的动能都不一样，有的快、有的慢，并且一同处在一个热平衡的状态，而温度，是一个巨观（Macroscopic）的物理量，并不是这群分子当中跑得快的分子其温度就比较高，而是这群有快有慢达平衡的分子们共同展现了一个为其平均动能乘上 2/(3k)的温度。让我们用个具象的比喻来了解这是怎麽一回事。 ※热平衡与黑体辐射 在 1970 年一月的《科学月刊》创刊号中，沈君山老师写了一篇名为《3K黑体辐射》的文章。四十年後，高涌泉老师於 2011 年 12 月的《科学人》 118 期开始连续三期的形上集撰写了三篇《沈君山解说黑体辐射（一 / 二 / 三）》的文章，来重新谈论这个问题。他们在文章中是这麽说的： 让我们想像一组理想无阻力的撞球与球台，开球的瞬间，母球以高速前进，带有庞大的动能，在母球撞到子球们後，所有的球开始散开，并不断地互相撞击、交换能量，由於没有阻力，这些球将持续地在球台上滚动与碰撞，最终达到一个动态平衡的状态，在这个平衡态下，并不会所有的球都有相同的速度，而是有些跑得快，有些动得慢。那我们怎麽说这些撞球达到平衡了呢？若将累计的球数对其速度做图，我们会得到一个速度分布。可以想见在一开始的时候，这个分布呈现两个尖尖的峰值，其一是速度为零的15颗子球，另有速度很快的母球一颗，然而当球开始互相撞击，这 个分布就开始改变，各种速度的球数开始或增或减，直到最终这个速度分布呈现一个几乎固定的分布，我们就可以说这些球达 “热” 平衡了。而对应的 “温度”，可以由这个速度分布求出。如果把这些球换成一个个的气体分子，整个情境就非常接近我们所熟悉的热平衡过程。比如将两盒温度不同的理想气体相接触，气体就能透过中间的隔板交换动能，其气体分子动能分布最终达到一个新的平衡，而有着新的温度。 那这跟黑体辐射（Black-body radiation）或称空腔辐射（Cavity radiation）又有什麽关系呢？事实上所谓的黑体辐射就是一群达热平衡的光子，这些光子有的能量大，有的能量小（其能量正比於光子的频率即 E=hf ），整体的光子数量（光强度）对频率的分布由这群光子共同表现的温度来决定，如下图就绘制了不同温度所对应的分布曲线。 https://imgur.com/0RYkwgz 所以在这里再次强调，根据目前为止的讨论，温度是一个巨观的物理量，并不能单看个别分子的动能就知道他的温度，而是一群有快有慢达平衡的分子们共同拥有一个温度，我们可以将温度视为平衡状态下一群分子能量分布曲线的一个参数。 但你可能会问，那温度高低又是什麽意思呢？我们不是都学过热能会从温度高的东西流向温度低的地方吗？就让我们更进一步地从统计力学的观点来讨论什麽是温度。 ※统计力学中的温度 在统计力学中，我们对於温度的定义，会围绕在一个核心价值，就是： 当两物体接触时，能量会趋向从温度高的物体流向温度低的物体 但是，怎麽看出能量想往哪去呢？这时我们就需要借助熵（Entropy）的概念。 ※熵（Entropy） 熵 S 是一个巨观物理量，是对於该巨观状态所拥有之微观状态数的一个度量。用数学式可以表示为： S=k ln(Ω) 其中 k=1.380649x10^-23 J/K 是波兹曼常数，也是熵的单位；ln 是自然对数，也就是告诉我们一个数是 Euler’s number e=2.71828……的几次方。比如若 Ω=e^3，ln(Ω)就等於3。 这里的 S 是某个巨观状态的熵，Ω 则为该巨观状态所拥有的微观状态数，以下举一个例子让大家熟悉一下： 假设现在的系统是两个盒子与古典的小球们，如下图所示，在只有一个小球的这个巨观状态下可能出现的微观状态就两种，小球不是在左边的盒子，就是在右边的盒子，我们记做 Ω(N=1)=2 ，其中 N 为小球的数目，也是我们标示巨观状态的方式。 https://imgur.com/PdiNoUC 而在有两个小球（N=2）的巨观状态，有四种可能的微观状态，如上图右半边所示，记做 Ω(N=2)=4。依此类推，有 N 个小球的巨观状态，其微观状态数即是 2 的 N 次方种，而对应的熵透过下列计算可得是 k N ln(2)，正比於 N。 https://imgur.com/EDFaUaU 在这个例子中我们观察到，当小球的数量逐渐增加，微观状态数也跟着增加，在许多的系统中，我们都能看到类似的特性。比方说一个盒子的理想气体，其中各个分子的各种能量状态（动得快、动得慢、朝三维空间不同方向运动）就可以类比成上例中的盒子（两种选择）；而上例中的小球数量 N，可以比拟成该盒中理想气体的总能量 E。当气体的总能量 E 越大时，这些能量就能以更多不同的排列组合方式分配到各个气体分子上（就像上例中越多的小球就能以更多不同排列组合方式分配到两个盒子中），因此所对应的微观状态数 Ω 也越大，熵 S 当然就跟着越大。 ※统计力学中的温度 现在，我要先写下统计力学中温度的定义，再慢慢解释为什麽这是个合理的定义。温度在统计力学中定义为： 1/T = ∂S/∂E 其中 T 是温度（绝对温度、凯氏温标），S 是熵，E 是能量。我们将会看到这个定义自然地给出 “当两物体接触时，能量会趋向从温度高的物体流向温度低的物体” 这个结果。 我们以一个盒子的理想气体为例，∂S/∂E 就代表了当我多灌入系统一点点能量，他的熵会增加多少，这同时反映了其微观状态数会增加多少。温度越低的系统，他的 1/T = ∂S/∂E 就越大，这就表示有一点点的能量流入後，该系统的微观状态数就会多很多，再根据统计力学的基本假设 — 每个允许的微观状态出现的机率都是一样的，我们就知道温度低的系统会有比较大的机会获得能量，或者说，低温系统在获得能量後，会比较不想失去能量！同理可套用在高温系统上，就不加赘述。 若我们将高温系统与低温系统热接触，整体的总系统会最大化总系统的熵（即最大化对应的总微观状态数），这个过程可以透过将能量由高温流向低温来达到。因为高温系统失去 ΔE 的能量时减少的熵比低温系统获得 ΔE 的能量时所增加的熵要来得少，所以当能量从高温流向低温时，总能虽然是固定的，但整体的熵确是上升的。也就代表这是一个自然发生的方向。（实际的因果应该倒过来讲，微观来看，能量有时候会从低温流向高温，有时候会从高温流向低温，但因为後者发生过後系统的微观状态数或熵会增加，所以发生的机率比较大，因此在经过一段时间後平均而言能量会比较想从高温流向低温）。 透过这样的微观温度定义，对於一个新的系统，我们就可以先写下其微观状态数对总内能的函数 Ω(E) ，取 ln 乘上 k 便得到熵对总内能的函数 S(E)，将其对总内能微分再取倒数，便能计算温度对总内能的函数 T(E)，我们就能知道一个系统在特定总能量的时候，他的温度是多少。比如理想气体分子总内能与温度的关系 T=(2E)/(3NK) 就能由每个气体分子处於不同位置与速度的微观状态数对总能的函数Ω(E)推导出来。但不要忘记！这一切都是在热平衡状态下的计算。 ※比正温度还热的负温度 最後，老师可能提过绝对零度（0K）是这世界上最冷的温度，但根据上面温度的定义，如果有系统的微观状态数会随着内能增加而减少， ∂S/∂E 不就小於零吗？难道我们会有负的绝对温度吗？答案是对的！在一些特殊的系统，我们会有负的绝对温度，不过这些负的绝对温度比所有正的绝对温度都还要来得热！！因为当我们塞给该系统 ΔE 的能量时，他的熵不只是增加的比较少，甚至会不增反减，也就是跟所有正绝对温度的系统比，能量是更不想流入的！所以他比 +∞K 还要来得更热。具体来说就是当-15K跟+15K的东西相接触，能量会从-15K的东西流向+15K的东西。你可能会觉得好像怪怪的，不过这是因为在上面式子出现的是 1/T 的缘故， 1/T 由正至零再到负的值对应的温度是越来越高，所以在跨越 1/T=0 的点，T 会从+∞K跳到-∞K。 那有没有实际微观状态数会随着内能增加而减少的例子呢？可以参考下图中的磁性系统： https://imgur.com/hOvEICJ 这个系统有许多的红色小磁铁（也许是带自旋的粒子）与外加磁场 B 组成，当小磁铁的方向（箭号）与外加磁场平行时，该小磁铁处在高能状态，反之则为低能状态，系统的总能就是各个小磁铁的能量加总。所以当全部小磁铁指向上的时候，能量最高（图左）；指向下时能量最低（图右）。你会发现，这个系统从能量一半到能量最高的过程中（由图中转为图左）能量在曾加，可是可能的微观状态数却在减少！！！，∂S/∂E < 0 ，也就是其绝对温度是负的了。 --

※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc), 来自: 219.91.6.53 (台湾) ※ 文章网址: https://webptt.com/cn.aspx?n=bbs/Physics/M.1623750500.A.8E5.html ※ 编辑: iamakuang (219.91.6.53 台湾), 06/15/2021 18:03:01 ※ 编辑: iamakuang (219.91.6.53 台湾), 06/15/2021 18:12:42 ※ 编辑: iamakuang (219.91.6.53 台湾), 06/15/2021 18:17:52 ※ 编辑: iamakuang (219.91.6.53 台湾), 06/15/2021 18:18:51 ※ 编辑: iamakuang (219.91.6.53 台湾), 06/15/2021 18:39:02 ※ 编辑: iamakuang (219.91.6.53 台湾), 06/15/2021 18:41:07 ※ 编辑: iamakuang (219.91.6.53 台湾), 06/15/2021 18:52:32 就有缘人吧哈哈哈，娱乐大众 ^ ^ ※ 编辑: iamakuang (219.91.6.53 台湾), 06/15/2021 19:27:05 其实这跟红色小球的箭头怎麽定义有关辣，所以我其实是用图说的能量高低来影射箭号的定义 ※ 编辑: iamakuang (219.91.6.53 台湾), 06/17/2021 15:04:14