作者alenbe (新生活)
看板Physics
標題[問題] 均勻帶電非導體圓環，靜電造成張力？
時間Sun Apr 26 20:24:05 2020
【出處】
自己想到的問題
【題目】
有一個均勻帶電荷Q的
非導體細圓環，半徑R
由於自身內部的電荷互相排斥
造成的環張力是多少？
【瓶頸】
想到利用積分計算結果
但只能算出環上一個小點受到的靜電斥力
是延著徑向向外
請問各位大大
如何才能算出整個圓環的受力呢？
謝謝喔
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 1.200.53.49 (臺灣)
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※ 編輯: alenbe (1.200.53.49 臺灣), 04/26/2020 20:47:23
2F：→ chemmachine: 維基給出三維球體的向量式，去改一改公式，可以得出04/26 20:53
3F：→ chemmachine: 向量式1.2.3維的球體和純量式1.2.3維的球體04/26 20:53
4F：→ chemmachine: 電力公式和重力公式結構相同。答案應該不是以質心計04/26 20:54
5F：→ chemmachine: 算。04/26 20:54
6F：→ chemmachine: 數學版"四個變數的積分"補九之前算的，很噁心的公式04/26 20:55
7F：→ chemmachine: 網路上的大陸網友給的質心是錯的04/26 20:56
8F：→ chemmachine: 我算出二維球體(圓盤)會有tan^-1，不是很好算04/26 20:57
9F：→ chemmachine: 圓盤是圓環積分來的A反正要改維基公式就對了，上次04/26 20:58
10F：→ chemmachine: 弄了一個早上，頗難算。算出向外的法向力後，切割圓04/26 20:58
11F：→ chemmachine: 環取一小段d thita 變成一個近似y字形的圖形，再算04/26 20:59
12F：→ chemmachine: 合力分析04/26 21:00
13F：→ chemmachine: dthita先不要零，算出來再讓他趨近零。04/26 21:01
14F：→ chemmachine: 以上有錯請指正04/26 21:01
15F：推 judgment: 張力應該就是環上點電荷受到其他點電荷向外的電力？04/27 09:30
16F：→ judgment: 個人想法是先假設N個電電荷在環上均勻分佈去推某電荷04/27 09:31
17F：→ judgment: 位置上感到其他N-1個電荷造成的電場，型式應該是 E=04/27 09:37
18F：→ judgment: Q/(16 \pi \epsilon_0 R^2) \sum_{n=1} ^{N-1} 1/{N [ \04/27 09:41
19F：→ judgment: sin (n\pi / N)]}04/27 09:41
20F：→ judgment: 上面電場的式子估算大概是ln N的等級，當N --> \infty04/27 09:45
21F：→ judgment: 時，E其實會發散， 04/27 09:45
22F：→ judgment: 但好玩在考慮每個點電荷的電量為Q/N乘上電場E時，點電荷04/27 09:48
23F：→ judgment: 所受淨力大概是 (ln N)/N ，當N --> \infty時，會發現每04/27 09:50
24F：→ judgment: 點所受淨力為0。04/27 09:50
25F：→ judgment: 但當你在環上放上外加的test charge q時，它受力會是無04/27 09:56
26F：→ judgment: 窮大。04/27 09:56
27F：→ judgment: 註：推導E時是假設圓環總帶電量Q，切N個點電荷均勻分佈04/27 10:10
28F：→ judgment: 時，04/27 10:10
29F：→ judgment: 每個點電荷帶電量為Q/N 。04/27 10:11
30F：→ judgment: 註2：E的無窮大order是大概估計的，實際應該還大於 ln N04/27 10:21
31F：→ judgment: 。04/27 10:21
32F：→ judgment: 上一行最後的句話，其實是問號 (跪求更詳細的估計方法)04/27 10:28
33F：→ judgment: 但應該還是有大於 ln N ，小於 N 的結果。04/27 10:41
34F：→ judgment: 上一行又錯:~ 估計是"大於 1，小於 ln N "04/27 11:04
35F：推 wohtp: 都已經把靜電力算出來了，接著要求張力抵消靜電力就好啦04/27 11:57
36F：→ wohtp: 取個半圓，靜電合力等於兩倍張力04/27 11:58
37F：→ kuromu: 算出靜電能模仿表面張力計算可以嗎？04/27 14:37
38F：→ alenbe: 其實連單點受靜電力都積不出來04/27 20:34
39F：→ alenbe: 積到後來發散卡住了04/27 20:34
※ 編輯: alenbe (1.200.53.49 臺灣), 04/27/2020 20:35:55
41F：→ wohtp: 喔了解，那就是沒有高度的環不能穩定存在，你加個z軸把電荷 04/27 21:02
42F：→ wohtp: 抹開就可以積了 04/27 21:03
43F：推 chemmachine: 一開始kqdQ，q和dQ都無限小，你指涉到dQ無限小，q沒 04/27 21:11
44F：→ chemmachine: 設到。不錯耶，幾乎列對了。我是用殼層公式畫簡的 04/27 21:12
45F：→ chemmachine: 跟你這個也許應該是一樣的。它不會無限大你想就知道 04/27 21:13
46F：→ chemmachine: 了 04/27 21:13
47F：推 chemmachine: 你這樣設最後可能要求sigma 1/sqrt(1-cos(k*2pi/n)) 04/27 21:19
48F：→ chemmachine: *1/n^2的極限，沒有已知的公式可以求，只能用牛頓的 04/27 21:20
49F：→ chemmachine: 殼層，牛頓當然會極座標，但因為這樣所以才用另外一 04/27 21:20
50F：→ chemmachine: 形式。你試看看網站的做法，應該1-3維向量純量都可 04/27 21:21
51F：→ chemmachine: 你這樣設法就是把上半切割成n分扇形，會得到一個limi 04/27 21:22
52F：→ chemmachine: t。如果不能求極限，就要另闢蹊徑。上次我算過是可行 04/27 21:23
53F：→ chemmachine: 的。 04/27 21:23
54F：→ chemmachine: 殼層算出來你等於重現牛頓的成果，才能真正認識他 04/27 21:24
55F：推 chemmachine: 牛頓可能要用殼層球內那邊也要考慮 04/27 21:28
56F：推 Vulpix: 單一圓環張力都要無限大，矮圓柱面可能可行，再算算。 04/27 21:34
57F：推 chemmachine: 2tan^-1[r+R/(r-Rtan(pi/2))]/(r^2-R^2) 04/27 21:38
58F：→ chemmachine: 這個是二維圓盤(純量我算的結果)，積分裡貌似有無限 04/27 21:40
59F：→ chemmachine: 大，但外面又tan^-1可能會把它回復正常，我那時也覺 04/27 21:40
60F：→ chemmachine: 的怪怪的。 04/27 21:40
61F：→ chemmachine: 它原本是一個積分式不要用變數代換算出來，用逼近的 04/27 21:42
62F：→ chemmachine: 如果這是重力，應該不會覺得一點所受環的引力無限大? 04/27 21:43
63F：→ wohtp: C大：不管他的test charge是Q還是dq，電場確定會log發散 04/27 21:46
64F：推 chemmachine: 恩我算算看好了 04/27 21:49
65F：→ wohtp: 換成重力也是一樣。環的體積密度無限大，本來就是不怎麼現 04/27 21:50
66F：→ wohtp: 實的條件，壞掉了也不要緊。 04/27 21:50
67F：→ judgment: 其實就是因為用連續的切無窮小去做這問題的話，電力的被 04/27 21:51
68F：→ judgment: 積分式將會變成「2次方的無窮小」，積電場結果又會發散 04/27 21:51
69F：→ judgment: ， 04/27 21:52
70F：推 chemmachine: wohtp大和judg大你們說的對，這個電場無窮大，不過q 04/27 21:53
71F：→ judgment: 物理解釋就是因為「不會有無窮窄的環，也不會有無窮小 04/27 21:54
72F：→ judgment: 的帶電粒子」 04/27 21:54
73F：→ chemmachine: 有一階小，我上次有用網站做出來試試看，記得二維結 04/27 21:54
74F：→ chemmachine: 果的確怪 04/27 21:54
75F：→ wohtp: 偷吃步的方法： 04/27 21:58
76F：→ wohtp: 1. 原po已經積出 ln[tan(pi/4)/0] 了 04/27 21:59
77F：→ wohtp: 2. 設環的半徑 R，高度 z， R >> z 04/27 21:59
78F：→ wohtp: 3. 若沒有 z 就發散，有 z 就不發散，所以 ln 裡面那個 0 04/27 22:00
79F：→ wohtp: 可以換成 z 的函數 04/27 22:01
80F：→ wohtp: 4. 既然要填沒有因次的東西進去，只能選 z/R + O((z/R)^2) 04/27 22:03
81F：→ wohtp: 所以那個積分的結果是 ln(R/z) + O(1) + O(z/R) 04/27 22:04
82F：→ wohtp: 第一項很大，後面的丟掉也可以 04/27 22:05
84F：→ chemmachine: 樣。上次算二維圓環和圓盤，三維球殼和球的向量和純 04/27 22:36
85F：→ chemmachine: 量累死我一個早上。 真的是二維都會發散，純量大概也 04/27 22:37
86F：→ chemmachine: 是發散。 04/27 22:38
87F：推 chemmachine: 反正二三維都是可以列式的，不管有無發散。向量純量 04/27 22:40
88F：→ chemmachine: 量都可以。設四維極座標可以列出數學板那人問的式子 04/27 22:41
89F：→ chemmachine: 但是會積不出來只能用逼近的 04/27 22:42
90F：推 wohtp: 其實我也有點意外。1/r^2 場在三維剛剛好singular，我以為 04/27 23:21
91F：→ wohtp: 拿到二維又抹開成一條線以後積分應該很收歛的。 04/27 23:21
92F：→ wohtp: 但算出來發散就發散 04/27 23:22
93F：推 Vulpix: 抹成實心甜甜圈，或者截面是方形的實心甜甜圈應該可以吧？ 04/28 02:28
94F：推 wohtp: 對了補充一下，淨力積分出來也會發散。算合力的時候那個電 04/28 02:42
95F：→ wohtp: 場的log只是常數可以提到積分外面。 04/28 02:42
96F：→ wohtp: 每一點受徑向電場E，任意弧受的淨力都可以積。E發散淨力當 04/28 02:45
97F：→ wohtp: 然發散。 04/28 02:45