作者alenbe (新生活)
看板Physics
标题[问题] 均匀带电非导体圆环，静电造成张力？
时间Sun Apr 26 20:24:05 2020
【出处】
自己想到的问题
【题目】
有一个均匀带电荷Q的
非导体细圆环，半径R
由於自身内部的电荷互相排斥
造成的环张力是多少？
【瓶颈】
想到利用积分计算结果
但只能算出环上一个小点受到的静电斥力
是延着径向向外
请问各位大大
如何才能算出整个圆环的受力呢？
谢谢喔
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※ 编辑: alenbe (1.200.53.49 台湾), 04/26/2020 20:47:23
2F：→ chemmachine: 维基给出三维球体的向量式，去改一改公式，可以得出04/26 20:53
3F：→ chemmachine: 向量式1.2.3维的球体和纯量式1.2.3维的球体04/26 20:53
4F：→ chemmachine: 电力公式和重力公式结构相同。答案应该不是以质心计04/26 20:54
5F：→ chemmachine: 算。04/26 20:54
6F：→ chemmachine: 数学版"四个变数的积分"补九之前算的，很恶心的公式04/26 20:55
7F：→ chemmachine: 网路上的大陆网友给的质心是错的04/26 20:56
8F：→ chemmachine: 我算出二维球体(圆盘)会有tan^-1，不是很好算04/26 20:57
9F：→ chemmachine: 圆盘是圆环积分来的A反正要改维基公式就对了，上次04/26 20:58
10F：→ chemmachine: 弄了一个早上，颇难算。算出向外的法向力後，切割圆04/26 20:58
11F：→ chemmachine: 环取一小段d thita 变成一个近似y字形的图形，再算04/26 20:59
12F：→ chemmachine: 合力分析04/26 21:00
13F：→ chemmachine: dthita先不要零，算出来再让他趋近零。04/26 21:01
14F：→ chemmachine: 以上有错请指正04/26 21:01
15F：推 judgment: 张力应该就是环上点电荷受到其他点电荷向外的电力？04/27 09:30
16F：→ judgment: 个人想法是先假设N个电电荷在环上均匀分布去推某电荷04/27 09:31
17F：→ judgment: 位置上感到其他N-1个电荷造成的电场，型式应该是 E=04/27 09:37
18F：→ judgment: Q/(16 \pi \epsilon_0 R^2) \sum_{n=1} ^{N-1} 1/{N [ \04/27 09:41
19F：→ judgment: sin (n\pi / N)]}04/27 09:41
20F：→ judgment: 上面电场的式子估算大概是ln N的等级，当N --> \infty04/27 09:45
21F：→ judgment: 时，E其实会发散， 04/27 09:45
22F：→ judgment: 但好玩在考虑每个点电荷的电量为Q/N乘上电场E时，点电荷04/27 09:48
23F：→ judgment: 所受净力大概是 (ln N)/N ，当N --> \infty时，会发现每04/27 09:50
24F：→ judgment: 点所受净力为0。04/27 09:50
25F：→ judgment: 但当你在环上放上外加的test charge q时，它受力会是无04/27 09:56
26F：→ judgment: 穷大。04/27 09:56
27F：→ judgment: 注：推导E时是假设圆环总带电量Q，切N个点电荷均匀分布04/27 10:10
28F：→ judgment: 时，04/27 10:10
29F：→ judgment: 每个点电荷带电量为Q/N 。04/27 10:11
30F：→ judgment: 注2：E的无穷大order是大概估计的，实际应该还大於 ln N04/27 10:21
31F：→ judgment: 。04/27 10:21
32F：→ judgment: 上一行最後的句话，其实是问号 (跪求更详细的估计方法)04/27 10:28
33F：→ judgment: 但应该还是有大於 ln N ，小於 N 的结果。04/27 10:41
34F：→ judgment: 上一行又错:~ 估计是"大於 1，小於 ln N "04/27 11:04
35F：推 wohtp: 都已经把静电力算出来了，接着要求张力抵消静电力就好啦04/27 11:57
36F：→ wohtp: 取个半圆，静电合力等於两倍张力04/27 11:58
37F：→ kuromu: 算出静电能模仿表面张力计算可以吗？04/27 14:37
38F：→ alenbe: 其实连单点受静电力都积不出来04/27 20:34
39F：→ alenbe: 积到後来发散卡住了04/27 20:34
※ 编辑: alenbe (1.200.53.49 台湾), 04/27/2020 20:35:55
41F：→ wohtp: 喔了解，那就是没有高度的环不能稳定存在，你加个z轴把电荷 04/27 21:02
42F：→ wohtp: 抹开就可以积了 04/27 21:03
43F：推 chemmachine: 一开始kqdQ，q和dQ都无限小，你指涉到dQ无限小，q没 04/27 21:11
44F：→ chemmachine: 设到。不错耶，几乎列对了。我是用壳层公式画简的 04/27 21:12
45F：→ chemmachine: 跟你这个也许应该是一样的。它不会无限大你想就知道 04/27 21:13
46F：→ chemmachine: 了 04/27 21:13
47F：推 chemmachine: 你这样设最後可能要求sigma 1/sqrt(1-cos(k*2pi/n)) 04/27 21:19
48F：→ chemmachine: *1/n^2的极限，没有已知的公式可以求，只能用牛顿的 04/27 21:20
49F：→ chemmachine: 壳层，牛顿当然会极座标，但因为这样所以才用另外一 04/27 21:20
50F：→ chemmachine: 形式。你试看看网站的做法，应该1-3维向量纯量都可 04/27 21:21
51F：→ chemmachine: 你这样设法就是把上半切割成n分扇形，会得到一个limi 04/27 21:22
52F：→ chemmachine: t。如果不能求极限，就要另辟蹊径。上次我算过是可行 04/27 21:23
53F：→ chemmachine: 的。 04/27 21:23
54F：→ chemmachine: 壳层算出来你等於重现牛顿的成果，才能真正认识他 04/27 21:24
55F：推 chemmachine: 牛顿可能要用壳层球内那边也要考虑 04/27 21:28
56F：推 Vulpix: 单一圆环张力都要无限大，矮圆柱面可能可行，再算算。 04/27 21:34
57F：推 chemmachine: 2tan^-1[r+R/(r-Rtan(pi/2))]/(r^2-R^2) 04/27 21:38
58F：→ chemmachine: 这个是二维圆盘(纯量我算的结果)，积分里貌似有无限 04/27 21:40
59F：→ chemmachine: 大，但外面又tan^-1可能会把它回复正常，我那时也觉 04/27 21:40
60F：→ chemmachine: 的怪怪的。 04/27 21:40
61F：→ chemmachine: 它原本是一个积分式不要用变数代换算出来，用逼近的 04/27 21:42
62F：→ chemmachine: 如果这是重力，应该不会觉得一点所受环的引力无限大? 04/27 21:43
63F：→ wohtp: C大：不管他的test charge是Q还是dq，电场确定会log发散 04/27 21:46
64F：推 chemmachine: 恩我算算看好了 04/27 21:49
65F：→ wohtp: 换成重力也是一样。环的体积密度无限大，本来就是不怎麽现 04/27 21:50
66F：→ wohtp: 实的条件，坏掉了也不要紧。 04/27 21:50
67F：→ judgment: 其实就是因为用连续的切无穷小去做这问题的话，电力的被 04/27 21:51
68F：→ judgment: 积分式将会变成「2次方的无穷小」，积电场结果又会发散 04/27 21:51
69F：→ judgment: ， 04/27 21:52
70F：推 chemmachine: wohtp大和judg大你们说的对，这个电场无穷大，不过q 04/27 21:53
71F：→ judgment: 物理解释就是因为「不会有无穷窄的环，也不会有无穷小 04/27 21:54
72F：→ judgment: 的带电粒子」 04/27 21:54
73F：→ chemmachine: 有一阶小，我上次有用网站做出来试试看，记得二维结 04/27 21:54
74F：→ chemmachine: 果的确怪 04/27 21:54
75F：→ wohtp: 偷吃步的方法： 04/27 21:58
76F：→ wohtp: 1. 原po已经积出 ln[tan(pi/4)/0] 了 04/27 21:59
77F：→ wohtp: 2. 设环的半径 R，高度 z， R >> z 04/27 21:59
78F：→ wohtp: 3. 若没有 z 就发散，有 z 就不发散，所以 ln 里面那个 0 04/27 22:00
79F：→ wohtp: 可以换成 z 的函数 04/27 22:01
80F：→ wohtp: 4. 既然要填没有因次的东西进去，只能选 z/R + O((z/R)^2) 04/27 22:03
81F：→ wohtp: 所以那个积分的结果是 ln(R/z) + O(1) + O(z/R) 04/27 22:04
82F：→ wohtp: 第一项很大，後面的丢掉也可以 04/27 22:05
84F：→ chemmachine: 样。上次算二维圆环和圆盘，三维球壳和球的向量和纯 04/27 22:36
85F：→ chemmachine: 量累死我一个早上。 真的是二维都会发散，纯量大概也 04/27 22:37
86F：→ chemmachine: 是发散。 04/27 22:38
87F：推 chemmachine: 反正二三维都是可以列式的，不管有无发散。向量纯量 04/27 22:40
88F：→ chemmachine: 量都可以。设四维极座标可以列出数学板那人问的式子 04/27 22:41
89F：→ chemmachine: 但是会积不出来只能用逼近的 04/27 22:42
90F：推 wohtp: 其实我也有点意外。1/r^2 场在三维刚刚好singular，我以为 04/27 23:21
91F：→ wohtp: 拿到二维又抹开成一条线以後积分应该很收歛的。 04/27 23:21
92F：→ wohtp: 但算出来发散就发散 04/27 23:22
93F：推 Vulpix: 抹成实心甜甜圈，或者截面是方形的实心甜甜圈应该可以吧？ 04/28 02:28
94F：推 wohtp: 对了补充一下，净力积分出来也会发散。算合力的时候那个电 04/28 02:42
95F：→ wohtp: 场的log只是常数可以提到积分外面。 04/28 02:42
96F：→ wohtp: 每一点受径向电场E，任意弧受的净力都可以积。E发散净力当 04/28 02:45
97F：→ wohtp: 然发散。 04/28 02:45