※ 引述《benasking712 ([email protected])》之銘言： : 各位前輩你們好 : 不好意思 最近在解動力學的題目是突然浮現了這個疑問： : 為什麼法線加速度只會改變速度的方向，而不會改變大小？！ 假設一質點在平面上移動，畫過一條連續可微的曲線 L L可由位置函數R(t)描述，R是向量，若用歐式坐標表示 R大概就是長這樣 R(t)=x(t)i+y(t)j R一經確定，質點的運動狀態，包括速度、速率、切線加速度、 法線加速度、加速度等等也就確定了 定義: V:=dR(t)/dt v:=|V| v是V的大小，即速率(speed)，ptt能用的符號不多 所以R、V、A這些向量我用大寫，速率用小寫v A:=dV(t)/dt V=v*(V/v) 定義 T:=V/v，即單位切向量，大小不變 方向會變 = vT A= (dv/dt) T + v dT/dt = (dv/dt) T + v*|dT/dt|*{(dT/dt)/|dT/dt|} (if |dT/dt|≠0) 定義 N:=(dT/dt)/|dT/dt| 由 T．T=1 微分得 dT/dt．T = 0 可知 N與T垂直 即 N 是單位法向量，大小不變，方向會變 = (dv/dt) T + v*|dT/dt| N 到這裡可以先回答原po的問題了 若只有法線加速度，沒有切線加速度 即 dv/dt 在某個區段恆為0 在微積分我們可以證明 v 為定值 所以 "速度大小不變" <=> "沒有切線加速度，只(可能)有法線加速度" 這是數學上的結果 (當然包含了一堆物理定義) 不牽扯到物理實驗或物理定律 就好像問"為什麼從靜止做等加速度運動的質點其路徑是直線且速率越來越快" 這也是運動學或是數學上的問題，沒有牽扯到力或牛頓運動定律 只不過這個問題高中數學就可以解決 原po的問題要比較多的微積分知識 把A的工作做個結尾 我們已經知道dT/dt的方向垂直T 而他的大小似乎跟單位時間內質點轉彎的劇烈程度有關 如果我們只關心路徑曲線 L 的幾何性質 (曲率) 那它應該跟質點在 L 上怎麼運動無關 所以我們引入另一個參數 s:=從某點開始的路徑長 A=(dv/dt) T + v*|dT/ds|*(ds/dt) N = (dv/dt) T + (v^2 * k) N 定義 曲率k:=|dT/ds| = (dv/dt) T + (v^2 / r) N 曲率半徑r:=1/k k的倒數為什麼不稱為曲率"直徑"或其他什麼的 為什麼要稱為曲率"半徑" 因為我們可以證明圓的曲率半徑就是它的半徑 L 上某點的曲率半徑即是那點上的密切圓半徑 這裡提供一個直觀、雖不嚴謹但正確的圖像 T(t_1)經過極小段路徑長ds後轉到T(t_2)，轉了dθ度 因此T(t_1)、T(t_2)、dT 圍出了一個等腰三角形 腰長是1，所以|dT|=dθ (|dT/dt|=dθ/dt=ω ∴法線加速度也等於vω) 與此同時，它的曲率半徑r 也轉了dθ度，畫出了ds 因此 ds=r*dθ=r*|dT| 所以|dT/ds| = 1/r --

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