※ 引述《benasking712 ([email protected])》之铭言： : 各位前辈你们好 : 不好意思 最近在解动力学的题目是突然浮现了这个疑问： : 为什麽法线加速度只会改变速度的方向，而不会改变大小？！ 假设一质点在平面上移动，画过一条连续可微的曲线 L L可由位置函数R(t)描述，R是向量，若用欧式坐标表示 R大概就是长这样 R(t)=x(t)i+y(t)j R一经确定，质点的运动状态，包括速度、速率、切线加速度、 法线加速度、加速度等等也就确定了 定义: V:=dR(t)/dt v:=|V| v是V的大小，即速率(speed)，ptt能用的符号不多 所以R、V、A这些向量我用大写，速率用小写v A:=dV(t)/dt V=v*(V/v) 定义 T:=V/v，即单位切向量，大小不变 方向会变 = vT A= (dv/dt) T + v dT/dt = (dv/dt) T + v*|dT/dt|*{(dT/dt)/|dT/dt|} (if |dT/dt|≠0) 定义 N:=(dT/dt)/|dT/dt| 由 T．T=1 微分得 dT/dt．T = 0 可知 N与T垂直 即 N 是单位法向量，大小不变，方向会变 = (dv/dt) T + v*|dT/dt| N 到这里可以先回答原po的问题了 若只有法线加速度，没有切线加速度 即 dv/dt 在某个区段恒为0 在微积分我们可以证明 v 为定值 所以 "速度大小不变" <=> "没有切线加速度，只(可能)有法线加速度" 这是数学上的结果 (当然包含了一堆物理定义) 不牵扯到物理实验或物理定律 就好像问"为什麽从静止做等加速度运动的质点其路径是直线且速率越来越快" 这也是运动学或是数学上的问题，没有牵扯到力或牛顿运动定律 只不过这个问题高中数学就可以解决 原po的问题要比较多的微积分知识 把A的工作做个结尾 我们已经知道dT/dt的方向垂直T 而他的大小似乎跟单位时间内质点转弯的剧烈程度有关 如果我们只关心路径曲线 L 的几何性质 (曲率) 那它应该跟质点在 L 上怎麽运动无关 所以我们引入另一个参数 s:=从某点开始的路径长 A=(dv/dt) T + v*|dT/ds|*(ds/dt) N = (dv/dt) T + (v^2 * k) N 定义 曲率k:=|dT/ds| = (dv/dt) T + (v^2 / r) N 曲率半径r:=1/k k的倒数为什麽不称为曲率"直径"或其他什麽的 为什麽要称为曲率"半径" 因为我们可以证明圆的曲率半径就是它的半径 L 上某点的曲率半径即是那点上的密切圆半径 这里提供一个直观、虽不严谨但正确的图像 T(t_1)经过极小段路径长ds後转到T(t_2)，转了dθ度 因此T(t_1)、T(t_2)、dT 围出了一个等腰三角形 腰长是1，所以|dT|=dθ (|dT/dt|=dθ/dt=ω ∴法线加速度也等於vω) 与此同时，它的曲率半径r 也转了dθ度，画出了ds 因此 ds=r*dθ=r*|dT| 所以|dT/ds| = 1/r --

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