薛丁格繪景是讓算子不隨時變，態向量時變並依據薛丁格方程 隨時間演化，若將動量算子和對x微分算子做對應， 則xp-px=i(h/2π)I的關係自動內建 海森堡繪景則是態向量非時變，物理量算子時變並依據古典力學 形式的方程隨時間演化，另外加上xp-px=i(h/2π)I的量子化條件 兩者對物理量期望值的預測是一致的 雖不同形式 根本上都是在求解演化算子和期望值 歸一化應該是機率詮釋必然的要求，算子的本徵值對應觀測量， 觀測量必須要是實數而hermitian能保證之 歷史上探索發展的過程大概是這樣： (h,hbar寫錯請見諒) 當時的old quantum theory常是以古典力學方程加上量子化條件 (推廣波爾條件成∮pdx=nh的形式)及對應原理(量子數大趨近於 古典形式)做計算及猜測 海森堡先考慮古典諧震子輻射公式，功率正比於震幅平方x^2， 他認為微觀的位置動量不具有實際意義，只當作是計算輻射頻率、 強度等觀測值的工具，他先用當時常用的action-angle coordinate 表達x，即x(n,t)=Σ [x_m(n)]e^i[mω(n)t]，m=-∞->∞,具週期性 而能以傅立葉級數表示，由n躍遷至n-m軌道時變化的能量是h[mω(n)] 則x^2=Σ b_l(n) e^i(lω(n)t],其中b_l(n)=Σ a_m(n) a_k(n),l=m+k 古典的情況是lω(n)=mω(n)+kω(n)，由對應原理可用quantum analogue 取代，即用ω(n,n-m-k)=ω(n,n-m)+ω(n-m,n-m-k)的關係式取代 理論飛躍的關鍵處是把傅立葉係數也用quantum analogue取代 猜測求和公式中的index也有類似情況， 即b(n,n-m-k)=Σ a(n,n-m) a(n-m,n-m-k)，且把x抽象對應許多 a(n,n-m)e^i[ω(n,n-m)t]構成的集合，於是x^2對應 b(n,n-l)e^i[ω(n,n-l)t]所成的集合。由傅立葉係數a_m(n)=a_-m(n)* 且ω(n,n-m)+ω(n-m,n)=0, [e^iω(n,n-m)t]*=e^iω(n-m,n)t 可猜測quantum analogue a(n,n-m)=a(n-m,n)* 他把p,x的傅立葉級數代入量子化條件∮pdx=nh，整理後 用quantum analogue置換 猜出了現代xp-px=i(h/2π)I的矩陣對角線 元素，對古典運動方程中的p,x用類似的手法得到a(n,n-m) 需滿足的某種代數方程組再進行求解 玻恩看出quantum analogue乘法的規則如同矩陣， 又ω(m,n)=(E_m-E_n)/h, a(m,n)e^i[(E_m-E_n)t/h] 其實是矩陣[a(m,n)]和對角矩陣e^i(Ht/h),e^[-i(Ht/h)]相乘後的分量， 從而寫出了正確的海森堡繪景下的物理量矩陣時變方程式 也補完xp-px=i(h/2π)I的非對角項。線性代數中的本徵問題、 對角化等技巧被引入，但是觀念停留在本徵值是觀測量， 非對角項代表transition amplitude，所謂的(態)向量只是求解 時的數學輔助工具而已。transition amplitude的概念是援引 愛因斯坦解釋黑體輻射時提出的躍遷機率(當時認為是統計意義 上的機率)。因為矩陣力學需要解代數方程，物理學家還不太熟悉 薛丁格接受物質波的概念，寫出了薛丁格方程，有多種猜法 其中我覺得比較合理的是：在古典理論中，把波動解拆成震幅和 相位變數的組合代入波動方程式，可以發現相位項遵守的方程式 猶如粒子的古典力學方程，折射率的角色類似位能。基本上模仿 就得到非時變的薛丁格方程，而這個方程本質上也是本徵值問題 而能算出正確能階。但是波函數被誤認為是粒子散佈於空間的密 度。若考慮非相對論性的能量-動量關係可猜出時變薛丁格方程式 之後多位學者把矩陣推廣成算子，結合變換理論，證明矩陣力學 與波動力學等價。波函數是態向量以某基底表示的分量，矩陣是 算子在某基底的representation。 機率詮釋則是直到玻恩用波動力學計算散射問題，他認為碰撞、 散射等實驗結果否定密度詮釋，並援引愛因斯坦在光量子論中 認為電磁場震幅平方代表了光子的機率，物質波應該也是如此， 散射問題的波函數平方代表散射後出現在某位置的機率。 考慮一個受到僅存在短暫時間的微擾位能作用的系統， 原系統各本徵態對應的amplitude係數平方代表了躍遷機率。 再加上海森堡提出不確定性原理以及Ehrenfest theorem(物理量 算子期望值符合古典方程式)而逐漸形成現代詮釋 --

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