※ 引述《jun707 (immortal)》之銘言： : 各位好 : 小弟我最近在讀Shankar的量子力學。 : 讀了前幾章就發現自己有些地方怎麼樣都抓不到物理概念，所以來請教各位： : 這本書裡面提到物質的狀態由態向量描述，而態向量可以用不同組的本徵向量做為基底展開。 : 當我們對物質的某個物理量進行觀測時，態向量會坍縮為該物理量所對應的hermitian算子的其中一個本徵向量。 : 我的疑惑是為什麼截然不同的物理量是都是同一個態向量取不同組基底？所有物理量之間的關係到底是什麼？然後態向量到底是什麼？為什麼含有所有物理量的資訊？ 不同物理量之間有可能有關係，有可能沒關係。他們之間的關係在量子力學中最重要的 應該是：可不可以同時量準這兩個量。也就是他們之間是否對易。 舉例來說：X（位置）,P（動量）這兩個物理量是不對易的。 但是Ｘ和Ｕ（Ｘ）＝1/2kX^2(位能)是對易的。所以當你把態向量投射到X空間中，物理量 位置、位能和其他所有跟Ｘ對易的可觀測量都可以用同樣的本徵向量對應。 而X,P不對易這件事，也讓Ｐ的本徵向量和Ｘ的本徵向量有傅立葉轉換的關係。 但是還是有一些物理量不一定可以直接和X,P建立關係，比方說自旋在非相對論系統裡。 那就要開另外一種空間出來描述自旋。因為沒辦法用X,P去描述這種自旋的狀態。 也就是如果有個帶自旋的粒子在真實空間中你需要兩個空間去描述他的狀態：一個描述 真實空間狀態，另一個描述自旋在做什麼。 另一個重要的問題就是：物理量的表徵是怎麼得到的？量了某個量，得到x，那量子力學 就說這個物理量是一個可觀測量，你可以利用量到的量當本徵值，量完那個物質態抽象 的叫他本徵態。你量好多次，就可以一點一點的把這個物理量表徵得到 Ｘ＝\sum_i x_i|x_i>< x_i| 從這裡你也可以看出來，如果一個物理量Ｙ的量測完全和X無關，他的表徵會是 Ｙ＝\sum_i y_i|y_i>< y_i| 然後整個態空間是由兩個小空間裝出來{｜x_i> \otimes |y_i>}然後這兩個物理量因為 是大空間裡的block diagonal parts。所以他們對易。 簡言之，上述的對易關係和[X,U(X)]=0有不同內涵。一個是沒關係，一個是共用同一組 本徵態。 一個有趣的問題是：如果有一個無窮位能井，寬度是a。還有另外一個無窮位能井，寬度 2a。你可以問他們的本徵態長怎麼樣？你能不能從其中一個裝出另外一個。他們之間 基底之間的關係是什麼？ 真實世界的態向量包含所有資訊是量子力學假設。但是可以換一個角度問問題：我怎麼 知道這個系統的各種資訊？舉例來說：一個描述一個粒子的態向量包含這個粒子的位置 、動能、位能、動量、角動量、自旋、總能量、等等... 但是藉由實驗，我能不能把這些訊息一一確定？這是個有趣的問題：叫做量子全像術 quantum tomography。這也是很多人現在在研究的方向，如何有效率的把“所有”訊息 從量測上獲得。 這個概念有點像古典裡我們有個木塊，古典力學假設我們可以藉由所有的質點的設定 （configuration）給出這個木塊的所有訊息。我們可以知道木塊長寬高、重量等等。 古典力學很好量測，就找尺和秤。而且每個量測是獨立的，量木塊位置和木塊動量不會 互相影響。 但是量子力學的假設是：因為描述物質的態不是一個可直接量測的量，而是要把這個態 collapse到某個量測上，導致有一些量測是獨立的，但是有一些不是。量位置和動量就 不是獨立，但是量位置和自旋可以是獨立。 為什麼是這樣？這就是一個量子力學本質大哉問。只能說量子力學提出了這個奇怪的架構 但是實驗量出來還真的是可重複實驗驗證的。有可能這個架構只是另外一個更完整架構 的現象學理論。但是在還沒找到更基礎的描述以前，量子力學還是會被當作最基礎的 理論之一。 這些問題我覺得都是很好的問題，只是這些東西最終回答可能都是很困難的， 我也不覺得我搞得很清楚，像量測本質是什麼？也是很有趣但是很燒腦的東西。 我只能提供一些我知道的重要訊息，比方說，量子力學整個架構和群論是緊密連結的。 上面那些討論一部分可以從這個角度切入。而且是非常精緻的環環相扣建出來的。 即使對為什麼量子力學長這樣不太理解，但是看到前人蓋出的宮殿還是覺得太酷了。 : 這些問題困擾我很久了，我都沒能夠理解。因為在我的腦中對向量的感覺，不同組的基底應該是相同的地位。可是在物理上我難以理解為什麼不同物理量彷彿都一樣，好像只是態向量的不同面向而已。 : 所以我上來請各位指點迷津一下，這些問題的答案是什麼，還是其實只是我理解錯誤，這些其實根本不是問題？ 在此先感謝各位了 : ----- : Sent from JPTT on my Xiaomi Redmi Note 6 Pro. --

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