※ 引述《jun707 (immortal)》之铭言： : 各位好 : 小弟我最近在读Shankar的量子力学。 : 读了前几章就发现自己有些地方怎麽样都抓不到物理概念，所以来请教各位： : 这本书里面提到物质的状态由态向量描述，而态向量可以用不同组的本徵向量做为基底展开。 : 当我们对物质的某个物理量进行观测时，态向量会坍缩为该物理量所对应的hermitian算子的其中一个本徵向量。 : 我的疑惑是为什麽截然不同的物理量是都是同一个态向量取不同组基底？所有物理量之间的关系到底是什麽？然後态向量到底是什麽？为什麽含有所有物理量的资讯？ 不同物理量之间有可能有关系，有可能没关系。他们之间的关系在量子力学中最重要的 应该是：可不可以同时量准这两个量。也就是他们之间是否对易。 举例来说：X（位置）,P（动量）这两个物理量是不对易的。 但是Ｘ和Ｕ（Ｘ）＝1/2kX^2(位能)是对易的。所以当你把态向量投射到X空间中，物理量 位置、位能和其他所有跟Ｘ对易的可观测量都可以用同样的本徵向量对应。 而X,P不对易这件事，也让Ｐ的本徵向量和Ｘ的本徵向量有傅立叶转换的关系。 但是还是有一些物理量不一定可以直接和X,P建立关系，比方说自旋在非相对论系统里。 那就要开另外一种空间出来描述自旋。因为没办法用X,P去描述这种自旋的状态。 也就是如果有个带自旋的粒子在真实空间中你需要两个空间去描述他的状态：一个描述 真实空间状态，另一个描述自旋在做什麽。 另一个重要的问题就是：物理量的表徵是怎麽得到的？量了某个量，得到x，那量子力学 就说这个物理量是一个可观测量，你可以利用量到的量当本徵值，量完那个物质态抽象 的叫他本徵态。你量好多次，就可以一点一点的把这个物理量表徵得到 Ｘ＝\sum_i x_i|x_i>< x_i| 从这里你也可以看出来，如果一个物理量Ｙ的量测完全和X无关，他的表徵会是 Ｙ＝\sum_i y_i|y_i>< y_i| 然後整个态空间是由两个小空间装出来{｜x_i> \otimes |y_i>}然後这两个物理量因为 是大空间里的block diagonal parts。所以他们对易。 简言之，上述的对易关系和[X,U(X)]=0有不同内涵。一个是没关系，一个是共用同一组 本徵态。 一个有趣的问题是：如果有一个无穷位能井，宽度是a。还有另外一个无穷位能井，宽度 2a。你可以问他们的本徵态长怎麽样？你能不能从其中一个装出另外一个。他们之间 基底之间的关系是什麽？ 真实世界的态向量包含所有资讯是量子力学假设。但是可以换一个角度问问题：我怎麽 知道这个系统的各种资讯？举例来说：一个描述一个粒子的态向量包含这个粒子的位置 、动能、位能、动量、角动量、自旋、总能量、等等... 但是藉由实验，我能不能把这些讯息一一确定？这是个有趣的问题：叫做量子全像术 quantum tomography。这也是很多人现在在研究的方向，如何有效率的把“所有”讯息 从量测上获得。 这个概念有点像古典里我们有个木块，古典力学假设我们可以藉由所有的质点的设定 （configuration）给出这个木块的所有讯息。我们可以知道木块长宽高、重量等等。 古典力学很好量测，就找尺和秤。而且每个量测是独立的，量木块位置和木块动量不会 互相影响。 但是量子力学的假设是：因为描述物质的态不是一个可直接量测的量，而是要把这个态 collapse到某个量测上，导致有一些量测是独立的，但是有一些不是。量位置和动量就 不是独立，但是量位置和自旋可以是独立。 为什麽是这样？这就是一个量子力学本质大哉问。只能说量子力学提出了这个奇怪的架构 但是实验量出来还真的是可重复实验验证的。有可能这个架构只是另外一个更完整架构 的现象学理论。但是在还没找到更基础的描述以前，量子力学还是会被当作最基础的 理论之一。 这些问题我觉得都是很好的问题，只是这些东西最终回答可能都是很困难的， 我也不觉得我搞得很清楚，像量测本质是什麽？也是很有趣但是很烧脑的东西。 我只能提供一些我知道的重要讯息，比方说，量子力学整个架构和群论是紧密连结的。 上面那些讨论一部分可以从这个角度切入。而且是非常精致的环环相扣建出来的。 即使对为什麽量子力学长这样不太理解，但是看到前人盖出的宫殿还是觉得太酷了。 : 这些问题困扰我很久了，我都没能够理解。因为在我的脑中对向量的感觉，不同组的基底应该是相同的地位。可是在物理上我难以理解为什麽不同物理量彷佛都一样，好像只是态向量的不同面向而已。 : 所以我上来请各位指点迷津一下，这些问题的答案是什麽，还是其实只是我理解错误，这些其实根本不是问题？ 在此先感谢各位了 : ----- : Sent from JPTT on my Xiaomi Redmi Note 6 Pro. --

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