作者jun707 (immortal)
看板Physics
標題[問題] 量子力學問題
時間Sun Jun 23 23:51:19 2019
各位好
小弟我最近在讀Shankar的量子力學。
讀了前幾章就發現自己有些地方怎麼樣都抓不到物理概念，所以來請教各位：
這本書裡面提到物質的狀態由態向量描述，而態向量可以用不同組的本徵向量做為基底展開。
當我們對物質的某個物理量進行觀測時，態向量會坍縮為該物理量所對應的hermitian算子的其中一個本徵向量。
我的疑惑是為什麼截然不同的物理量是都是同一個態向量取不同組基底？所有物理量之間的關係到底是什麼？然後態向量到底是什麼？為什麼含有所有物理量的資訊？
這些問題困擾我很久了，我都沒能夠理解。因為在我的腦中對向量的感覺，不同組的基底應該是相同的地位。可是在物理上我難以理解為什麼不同物理量彷彿都一樣，好像只是態向量的不同面向而已。
所以我上來請各位指點迷津一下，這些問題的答案是什麼，還是其實只是我理解錯誤，這些其實根本不是問題？ 在此先感謝各位了
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1F：推 Muscovy: 關於函數空間的部分, 給你一個比較邪門歪道的比喻好了 06/24 00:02
2F：→ Muscovy: 譬如說一台冰箱, 你可以用五千元台幣買它... 06/24 00:03
3F：→ Muscovy: 你也可以幫老闆用三天打工的方式買到它. 06/24 00:03
4F：→ Muscovy: 當然也可以用日幣美金之類的貨幣買. 06/24 00:04
5F：→ Muscovy: 甚至可以用二手車換到... 但是它都是一台冰箱. 06/24 00:04
6F：→ Muscovy: 然後, 這個冰箱價格的各種衡量方式, 其實很像你說的基底 06/24 00:05
7F：→ Muscovy: 只是量子力學中的基底有很強的幾何意義... 06/24 00:05
8F：→ Muscovy: 所以我剛剛講的東西有點邪門歪道, 因為它們都不是向量. 06/24 00:06
9F：→ Muscovy: 但是譬如說你想研究電子的動量, 那我就說你要換算成台幣. 06/24 00:07
10F：→ Muscovy: 而且這個台幣會跟美金掛勾, 然後一查之下... 06/24 00:07
11F：→ Muscovy: 美金其實是「位置」, 所以又有一些奇怪的交互作用. 06/24 00:08
12F：推 Muscovy: 嗯, 你可以勉強用這樣的概念去理解... 06/24 00:11
13F：→ Muscovy: 可以再給你一個反例, 「不同基底應該是相同地位」是錯的. 06/24 00:12
14F：→ Muscovy: 譬如 x-space 跟 k-space, 互為 fourier transform. 06/24 00:12
15F：→ Muscovy: 它們可以描述同一個東西, 但是描述的圖像很不一樣. 06/24 00:13
16F：→ jun707: 謝謝樓上回答 我比較能理解了 但是我直觀上只能理解為什麼 06/24 00:41
17F：→ jun707: 同一個波能用k space與x space表示 但卻沒辦法理解為何以 06/24 00:41
18F：→ jun707: 任何一個可觀測物理量為基底描述的態向量 可以蘊含所有關 06/24 00:41
19F：→ jun707: 於其他可觀測物理量的資訊 06/24 00:41
20F：推 Muscovy: 嗯, 應該不太像是你說的那種講法... 06/24 00:46
21F：→ Muscovy: 既然你可以理解 x-space & k-space, 那我們用這個講. 06/24 00:46
22F：→ Muscovy: 量子力學的一個粒子其實住在一個很奇妙的空間. 06/24 00:47
23F：→ Muscovy: 你要去度量它的「位置」的時候, 你拿的尺就是 x-space. 06/24 00:47
24F：→ Muscovy: 但是只知道 x-space, 其實你並不知道粒子的所有狀態. 06/24 00:48
25F：→ Muscovy: k-space 裡面, 粒子可以有著跟 x-space 幾乎不相關的圖像 06/24 00:48
26F：→ Muscovy: （為什麼說幾乎, 是因為裡面還卡了一個不確定性原理）. 06/24 00:49
27F：→ Muscovy: 所以你要知道動量的時候, 就要去拿另一把尺, k-space. 06/24 00:49
28F：→ Muscovy: 這兩個測量的對象都是現實世界的同一個粒子... 06/24 00:50
29F：→ Muscovy: 但是你不能說「x-space 所描述的結果在 k-space 如何」. 06/24 00:51
30F：→ jun707: 可是不論k space還是x space 都是描述同一個態向量不是嗎 06/24 00:52
31F：→ jun707: ？ 06/24 00:52
32F：→ Muscovy: 因為如果沒有特別說明的話, x-space 的圖像跟 k-space... 06/24 00:52
33F：→ Muscovy: 兩者可以差很多. 06/24 00:52
34F：→ Muscovy: 對, 但是你一定要 x-space + k-space 一起看. 06/24 00:53
35F：→ jun707: 當我們觀測粒子位置時因為描述粒子的態向量要變成位置空間 06/24 00:55
36F：→ jun707: 的本徵向量 所以從而讓我們認為粒子動量變成疊加態了 06/24 00:55
37F：推 Muscovy: 你上面這句話是對的, 但是 k-space 裡面可以有不同結果. 06/24 00:56
38F：→ Muscovy: 就拿一個 x-space 處處都是相等的機率波來說. 06/24 00:56
39F：→ Muscovy: k-space 所描述的可以有很多奇怪的結果, 取決於你的能量. 06/24 00:57
40F：→ jun707: 所以我才以為不同物理量都是同一個態向量的不同面向？ 06/24 00:57
41F：→ jun707: 你是指在x space上的狀態一樣 卻可能在k space是截然不同 06/24 00:59
42F：→ jun707: 的狀態？ 06/24 00:59
43F：→ Muscovy: 你這句話我就不太敢肯定, 因為有些物理量不在裡面. 06/24 00:59
44F：→ Muscovy: 對, k-space 可以有很多不同結果, 但對到同一個 x 的函數 06/24 00:59
45F：→ Muscovy: 譬如平面波, 波長不同, k-space 的描述就不同. 06/24 01:00
46F：→ Muscovy: 但是你在 x-space 裡面會看到一樣的結果. 06/24 01:00
47F：→ jun707: 有些物理量的資訊不在態向量裡？ 06/24 01:00
48F：→ Muscovy: 對, 譬如說電荷就不在薛丁格的方程式裡面... 06/24 01:01
49F：→ jun707: 對吼 好像也是 那要怎麼描述 06/24 01:03
50F：推 Muscovy: 所以「機率波」就是目前的答案啊, 電荷內禀, 乘上機率. 06/24 01:05
51F：→ jun707: 不太懂你的意思 06/24 01:06
52F：→ Muscovy: 就是電子跑來跑去, 描述它的方式是薛丁格的波動方程式. 06/24 01:07
53F：→ Muscovy: 然後這個「波」的物理解釋是「電子處在某種狀態的機率」. 06/24 01:07
54F：→ Muscovy: 所以在 x-space 找到的就是「電子出現在某個位置的機率」 06/24 01:08
55F：→ Muscovy: 這個機率呢, 想像成一朵雲, 乘上電荷就是電子雲的概念. 06/24 01:08
56F：→ jun707: 這我知道 但是我是疑惑像電荷之類的沒在方程式裡的都是粒 06/24 01:08
57F：→ jun707: 子內秉且固定的參數？ 我們不用描述他怎麼隨時間變化？ 06/24 01:08
58F：→ Muscovy: 這個我就不敢講, 譬如說質量雖然有出現, 但也不是波函數 06/24 01:10
59F：→ Muscovy: 你的問題其實比較像是「描述波函數的函數空間是什麼鬼」 06/24 01:11
60F：→ Muscovy: 這個倒是有標準答案, 就是線性代數那一套. 06/24 01:11
61F：→ jun707: 啊啊啊 呃問題好多阿 感謝大大的講解 我一個人自學真的有 06/24 01:11
62F：→ jun707: 超多問題不會的 06/24 01:11
63F：→ jun707: 我搞不懂什麼是態向量啊啊 06/24 01:12
64F：推 Muscovy: XD 06/24 01:13
65F：→ Muscovy: 你先 google 一下 quantum mechanics + dual space 這個 06/24 01:14
66F：→ Muscovy: 如果你真的很在意數學解釋的話... XD 06/24 01:14
67F：→ jun707: 那些數學解釋我有看過了 只是一直難有一個清楚的物理圖像 06/24 01:15
68F：→ Muscovy: 不過我做物理的話會跟你說, 先跳過這麼哲學的咚咚吧! 06/24 01:15
69F：→ jun707: 知道這在幹嘛 06/24 01:16
70F：→ Muscovy: 嗯, 因為你那個圖像怪怪的... 06/24 01:16
71F：→ Muscovy: 但是我一下子也有點抓不太到你搞混的點是什麼... 06/24 01:16
72F：→ jun707: 感覺要算知道能怎麼算 但是不清楚這個模型本身是在幹嘛 06/24 01:17
73F：推 Muscovy: 哦, 那你這個看起來是在問 postulate 了. 06/24 01:19
74F：→ jun707: 嗯嗯 我看不懂postulate 06/24 01:20
75F：→ Muscovy: hmmm, 它其實就是從動量跟位置推起... 06/24 01:20
76F：→ Muscovy: 然後跟你說, 有動量跟有位置, 你就可以推出像是角動量 06/24 01:21
77F：→ Muscovy: 還有能量, 還有一些量子力學才有的交互作用, 譬如簡併. 06/24 01:21
78F：→ Muscovy: 但是就是這一些而已, 你不能把這些外推到整個物理學. 06/24 01:22
79F：→ Muscovy: 譬如重力就不行... XD 06/24 01:22
80F：→ Muscovy: 但是只要是在量子力學的範圍內, 它能描述的就像線性代數 06/24 01:23
81F：→ jun707: 他說粒子的狀態可以由態向量表示 但是我不知道哪些參數可 06/24 01:23
82F：→ jun707: 以哪些不行 06/24 01:23
83F：→ Muscovy: 哦, 這個倒是簡單, 就是「力學」... 06/24 01:24
84F：→ Muscovy: 力學裡面的東西就是量子力學可以描述的, 能量動量之類的. 06/24 01:25
85F：→ jun707: 我好奇的是為什麼同一個態向量可以用動量基底展開也可以用 06/24 01:29
86F：→ jun707: 位置基底展開 06/24 01:29
87F：推 Muscovy: 嗯, 這個就是 postulate... Shankar 應該也沒給答案. 06/24 01:31
88F：→ Muscovy: 但是物理學家知道這樣做會對. 06/24 01:31
89F：→ jun707: 好像位置基底的係數就決定了態向量在動量基底的係數 猶如 06/24 01:31
90F：→ jun707: 用彼此相差某個角度的直角座標系描述同個向量 06/24 01:31
91F：→ Muscovy: 你這個解釋就不太對, x-space 跟 k-space 幾乎是脫鉤的. 06/24 01:32
92F：→ jun707: 可是旋轉一個角度的座標系我會知道他量到的係數也是長度單 06/24 01:33
93F：→ jun707: 位和原本的座標系性質相同 可是態向量就不是這回事 06/24 01:33
94F：→ Muscovy: 它們之間的關係是那個微弱的 uncertainty principle. 06/24 01:33
95F：→ Muscovy: 嗯, 沒錯... 因為它不是 x-space 轉一轉變到 k-space. 06/24 01:34
96F：→ jun707: 喔喔所以是類似古典物理中位置和動量獨立 共同決定粒子的 06/24 01:35
97F：→ Muscovy: 它是 x-space 裡面一沱, k-space 裡面另一沱. 06/24 01:35
98F：→ jun707: 其他物理量 06/24 01:35
99F：→ Muscovy: 對... 就是那樣. 再加上 uncertainty principle. 06/24 01:35
100F：→ jun707: 只是量子力學中還多個不確定性原理 06/24 01:35
101F：→ jun707: ？ 06/24 01:35
102F：→ Muscovy: 是的... 至少古典的量子力學就這麼簡單. XD 06/24 01:36
103F：→ jun707: 喔喔那用每個可觀測物理量的的基底組成的空間都是不同的 06/24 01:36
104F：→ jun707: 旋轉是在同一個空間旋轉？ 06/24 01:37
105F：→ Muscovy: 這個倒也不是, 譬如知道位置跟動量, 角動量也就都知道了 06/24 01:37
106F：→ jun707: 雖然都叫態向量可是在不同空間描述就是要分開來討論？ 06/24 01:37
107F：→ Muscovy: 哦, 沒看到你的第二句話... 06/24 01:38
108F：→ Muscovy: 就是你剛剛說的, 動量跟位置共同決定其他的力學物理量. 06/24 01:39
109F：→ Muscovy: 至於能不能用超維空間的旋轉去想像它? 這個我就不知. 06/24 01:39
110F：→ jun707: 再次感謝M大解決我的疑惑 我今天真的受益匪淺呀 06/24 01:42
111F：→ jun707: 我再好好讀書好好消化一下 06/24 01:43
112F：推 Muscovy: 不客氣, 你加油. 06/24 01:43
113F：→ maplefff: 你應該先回到古典的波動力學和線性代數會比較好想像 06/24 02:39
114F：→ maplefff: 當你想要描述一個波的當前震幅你會把它投影到x-space 06/24 02:43
115F：推 maplefff: 當你想要描述他的頻率你會把波投影到k-space, 06/24 02:45
116F：→ maplefff: why? 因為這些space的基底彼此正交，而且是你想要得到 06/24 02:45
117F：→ maplefff: 物理量的operator的eigenstate, 數學上你必須這麼做 06/24 02:46
118F：→ maplefff: 你才能得到你想要的物理量。 06/24 02:47
119F：→ maplefff: 這裏波就是一個態向量，一個抽象物理實體 06/24 02:49
120F：→ maplefff: 當你使用不同的基底，它就展現出不同的特性。 06/24 02:49
121F：→ maplefff: 但是它們都是同一個波(態向量, 物理實體)的投影 06/24 02:50
122F：→ maplefff: 彼此之間透過傅立葉轉換得到 06/24 02:52
124F：推 maplefff: 你可能還是很想問:所以，到底state vector到底是什麼 06/24 03:11
125F：→ maplefff: 它就是可以在某個space產生投影(物理量)的object 06/24 03:13
126F：→ maplefff: 一個我們想像出來，並認為它就在那裡的object 06/24 03:17
127F：→ maplefff: 縱使我們永遠都只能觀測到它的投影 06/24 03:18
128F：推 zealeliot: 兩位M大可否回篇文章來解說，看討論很有收穫，雖然我離 06/24 10:27
129F：→ zealeliot: 量力很久了XD。 06/24 10:27
130F：推 Muscovy: 下一篇講得很讚啊... 看下篇 Sea 兄的解釋也很不錯. :D 06/24 19:20
131F：推 ray938828: 把傅立葉級數跟積分讀好再讀量物 保証學很快 07/05 08:50