作者jun707 (immortal)
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标题[问题] 量子力学问题
时间Sun Jun 23 23:51:19 2019
各位好
小弟我最近在读Shankar的量子力学。
读了前几章就发现自己有些地方怎麽样都抓不到物理概念，所以来请教各位：
这本书里面提到物质的状态由态向量描述，而态向量可以用不同组的本徵向量做为基底展开。
当我们对物质的某个物理量进行观测时，态向量会坍缩为该物理量所对应的hermitian算子的其中一个本徵向量。
我的疑惑是为什麽截然不同的物理量是都是同一个态向量取不同组基底？所有物理量之间的关系到底是什麽？然後态向量到底是什麽？为什麽含有所有物理量的资讯？
这些问题困扰我很久了，我都没能够理解。因为在我的脑中对向量的感觉，不同组的基底应该是相同的地位。可是在物理上我难以理解为什麽不同物理量彷佛都一样，好像只是态向量的不同面向而已。
所以我上来请各位指点迷津一下，这些问题的答案是什麽，还是其实只是我理解错误，这些其实根本不是问题？ 在此先感谢各位了
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1F：推 Muscovy: 关於函数空间的部分, 给你一个比较邪门歪道的比喻好了 06/24 00:02
2F：→ Muscovy: 譬如说一台冰箱, 你可以用五千元台币买它... 06/24 00:03
3F：→ Muscovy: 你也可以帮老板用三天打工的方式买到它. 06/24 00:03
4F：→ Muscovy: 当然也可以用日币美金之类的货币买. 06/24 00:04
5F：→ Muscovy: 甚至可以用二手车换到... 但是它都是一台冰箱. 06/24 00:04
6F：→ Muscovy: 然後, 这个冰箱价格的各种衡量方式, 其实很像你说的基底 06/24 00:05
7F：→ Muscovy: 只是量子力学中的基底有很强的几何意义... 06/24 00:05
8F：→ Muscovy: 所以我刚刚讲的东西有点邪门歪道, 因为它们都不是向量. 06/24 00:06
9F：→ Muscovy: 但是譬如说你想研究电子的动量, 那我就说你要换算成台币. 06/24 00:07
10F：→ Muscovy: 而且这个台币会跟美金挂勾, 然後一查之下... 06/24 00:07
11F：→ Muscovy: 美金其实是「位置」, 所以又有一些奇怪的交互作用. 06/24 00:08
12F：推 Muscovy: 嗯, 你可以勉强用这样的概念去理解... 06/24 00:11
13F：→ Muscovy: 可以再给你一个反例, 「不同基底应该是相同地位」是错的. 06/24 00:12
14F：→ Muscovy: 譬如 x-space 跟 k-space, 互为 fourier transform. 06/24 00:12
15F：→ Muscovy: 它们可以描述同一个东西, 但是描述的图像很不一样. 06/24 00:13
16F：→ jun707: 谢谢楼上回答 我比较能理解了 但是我直观上只能理解为什麽 06/24 00:41
17F：→ jun707: 同一个波能用k space与x space表示 但却没办法理解为何以 06/24 00:41
18F：→ jun707: 任何一个可观测物理量为基底描述的态向量 可以蕴含所有关 06/24 00:41
19F：→ jun707: 於其他可观测物理量的资讯 06/24 00:41
20F：推 Muscovy: 嗯, 应该不太像是你说的那种讲法... 06/24 00:46
21F：→ Muscovy: 既然你可以理解 x-space & k-space, 那我们用这个讲. 06/24 00:46
22F：→ Muscovy: 量子力学的一个粒子其实住在一个很奇妙的空间. 06/24 00:47
23F：→ Muscovy: 你要去度量它的「位置」的时候, 你拿的尺就是 x-space. 06/24 00:47
24F：→ Muscovy: 但是只知道 x-space, 其实你并不知道粒子的所有状态. 06/24 00:48
25F：→ Muscovy: k-space 里面, 粒子可以有着跟 x-space 几乎不相关的图像 06/24 00:48
26F：→ Muscovy: （为什麽说几乎, 是因为里面还卡了一个不确定性原理）. 06/24 00:49
27F：→ Muscovy: 所以你要知道动量的时候, 就要去拿另一把尺, k-space. 06/24 00:49
28F：→ Muscovy: 这两个测量的对象都是现实世界的同一个粒子... 06/24 00:50
29F：→ Muscovy: 但是你不能说「x-space 所描述的结果在 k-space 如何」. 06/24 00:51
30F：→ jun707: 可是不论k space还是x space 都是描述同一个态向量不是吗 06/24 00:52
31F：→ jun707: ？ 06/24 00:52
32F：→ Muscovy: 因为如果没有特别说明的话, x-space 的图像跟 k-space... 06/24 00:52
33F：→ Muscovy: 两者可以差很多. 06/24 00:52
34F：→ Muscovy: 对, 但是你一定要 x-space + k-space 一起看. 06/24 00:53
35F：→ jun707: 当我们观测粒子位置时因为描述粒子的态向量要变成位置空间 06/24 00:55
36F：→ jun707: 的本徵向量 所以从而让我们认为粒子动量变成叠加态了 06/24 00:55
37F：推 Muscovy: 你上面这句话是对的, 但是 k-space 里面可以有不同结果. 06/24 00:56
38F：→ Muscovy: 就拿一个 x-space 处处都是相等的机率波来说. 06/24 00:56
39F：→ Muscovy: k-space 所描述的可以有很多奇怪的结果, 取决於你的能量. 06/24 00:57
40F：→ jun707: 所以我才以为不同物理量都是同一个态向量的不同面向？ 06/24 00:57
41F：→ jun707: 你是指在x space上的状态一样 却可能在k space是截然不同 06/24 00:59
42F：→ jun707: 的状态？ 06/24 00:59
43F：→ Muscovy: 你这句话我就不太敢肯定, 因为有些物理量不在里面. 06/24 00:59
44F：→ Muscovy: 对, k-space 可以有很多不同结果, 但对到同一个 x 的函数 06/24 00:59
45F：→ Muscovy: 譬如平面波, 波长不同, k-space 的描述就不同. 06/24 01:00
46F：→ Muscovy: 但是你在 x-space 里面会看到一样的结果. 06/24 01:00
47F：→ jun707: 有些物理量的资讯不在态向量里？ 06/24 01:00
48F：→ Muscovy: 对, 譬如说电荷就不在薛丁格的方程式里面... 06/24 01:01
49F：→ jun707: 对吼 好像也是 那要怎麽描述 06/24 01:03
50F：推 Muscovy: 所以「机率波」就是目前的答案啊, 电荷内禀, 乘上机率. 06/24 01:05
51F：→ jun707: 不太懂你的意思 06/24 01:06
52F：→ Muscovy: 就是电子跑来跑去, 描述它的方式是薛丁格的波动方程式. 06/24 01:07
53F：→ Muscovy: 然後这个「波」的物理解释是「电子处在某种状态的机率」. 06/24 01:07
54F：→ Muscovy: 所以在 x-space 找到的就是「电子出现在某个位置的机率」 06/24 01:08
55F：→ Muscovy: 这个机率呢, 想像成一朵云, 乘上电荷就是电子云的概念. 06/24 01:08
56F：→ jun707: 这我知道 但是我是疑惑像电荷之类的没在方程式里的都是粒 06/24 01:08
57F：→ jun707: 子内秉且固定的参数？ 我们不用描述他怎麽随时间变化？ 06/24 01:08
58F：→ Muscovy: 这个我就不敢讲, 譬如说质量虽然有出现, 但也不是波函数 06/24 01:10
59F：→ Muscovy: 你的问题其实比较像是「描述波函数的函数空间是什麽鬼」 06/24 01:11
60F：→ Muscovy: 这个倒是有标准答案, 就是线性代数那一套. 06/24 01:11
61F：→ jun707: 啊啊啊 呃问题好多阿 感谢大大的讲解 我一个人自学真的有 06/24 01:11
62F：→ jun707: 超多问题不会的 06/24 01:11
63F：→ jun707: 我搞不懂什麽是态向量啊啊 06/24 01:12
64F：推 Muscovy: XD 06/24 01:13
65F：→ Muscovy: 你先 google 一下 quantum mechanics + dual space 这个 06/24 01:14
66F：→ Muscovy: 如果你真的很在意数学解释的话... XD 06/24 01:14
67F：→ jun707: 那些数学解释我有看过了 只是一直难有一个清楚的物理图像 06/24 01:15
68F：→ Muscovy: 不过我做物理的话会跟你说, 先跳过这麽哲学的咚咚吧! 06/24 01:15
69F：→ jun707: 知道这在干嘛 06/24 01:16
70F：→ Muscovy: 嗯, 因为你那个图像怪怪的... 06/24 01:16
71F：→ Muscovy: 但是我一下子也有点抓不太到你搞混的点是什麽... 06/24 01:16
72F：→ jun707: 感觉要算知道能怎麽算 但是不清楚这个模型本身是在干嘛 06/24 01:17
73F：推 Muscovy: 哦, 那你这个看起来是在问 postulate 了. 06/24 01:19
74F：→ jun707: 嗯嗯 我看不懂postulate 06/24 01:20
75F：→ Muscovy: hmmm, 它其实就是从动量跟位置推起... 06/24 01:20
76F：→ Muscovy: 然後跟你说, 有动量跟有位置, 你就可以推出像是角动量 06/24 01:21
77F：→ Muscovy: 还有能量, 还有一些量子力学才有的交互作用, 譬如简并. 06/24 01:21
78F：→ Muscovy: 但是就是这一些而已, 你不能把这些外推到整个物理学. 06/24 01:22
79F：→ Muscovy: 譬如重力就不行... XD 06/24 01:22
80F：→ Muscovy: 但是只要是在量子力学的范围内, 它能描述的就像线性代数 06/24 01:23
81F：→ jun707: 他说粒子的状态可以由态向量表示 但是我不知道哪些参数可 06/24 01:23
82F：→ jun707: 以哪些不行 06/24 01:23
83F：→ Muscovy: 哦, 这个倒是简单, 就是「力学」... 06/24 01:24
84F：→ Muscovy: 力学里面的东西就是量子力学可以描述的, 能量动量之类的. 06/24 01:25
85F：→ jun707: 我好奇的是为什麽同一个态向量可以用动量基底展开也可以用 06/24 01:29
86F：→ jun707: 位置基底展开 06/24 01:29
87F：推 Muscovy: 嗯, 这个就是 postulate... Shankar 应该也没给答案. 06/24 01:31
88F：→ Muscovy: 但是物理学家知道这样做会对. 06/24 01:31
89F：→ jun707: 好像位置基底的系数就决定了态向量在动量基底的系数 犹如 06/24 01:31
90F：→ jun707: 用彼此相差某个角度的直角座标系描述同个向量 06/24 01:31
91F：→ Muscovy: 你这个解释就不太对, x-space 跟 k-space 几乎是脱钩的. 06/24 01:32
92F：→ jun707: 可是旋转一个角度的座标系我会知道他量到的系数也是长度单 06/24 01:33
93F：→ jun707: 位和原本的座标系性质相同 可是态向量就不是这回事 06/24 01:33
94F：→ Muscovy: 它们之间的关系是那个微弱的 uncertainty principle. 06/24 01:33
95F：→ Muscovy: 嗯, 没错... 因为它不是 x-space 转一转变到 k-space. 06/24 01:34
96F：→ jun707: 喔喔所以是类似古典物理中位置和动量独立 共同决定粒子的 06/24 01:35
97F：→ Muscovy: 它是 x-space 里面一沱, k-space 里面另一沱. 06/24 01:35
98F：→ jun707: 其他物理量 06/24 01:35
99F：→ Muscovy: 对... 就是那样. 再加上 uncertainty principle. 06/24 01:35
100F：→ jun707: 只是量子力学中还多个不确定性原理 06/24 01:35
101F：→ jun707: ？ 06/24 01:35
102F：→ Muscovy: 是的... 至少古典的量子力学就这麽简单. XD 06/24 01:36
103F：→ jun707: 喔喔那用每个可观测物理量的的基底组成的空间都是不同的 06/24 01:36
104F：→ jun707: 旋转是在同一个空间旋转？ 06/24 01:37
105F：→ Muscovy: 这个倒也不是, 譬如知道位置跟动量, 角动量也就都知道了 06/24 01:37
106F：→ jun707: 虽然都叫态向量可是在不同空间描述就是要分开来讨论？ 06/24 01:37
107F：→ Muscovy: 哦, 没看到你的第二句话... 06/24 01:38
108F：→ Muscovy: 就是你刚刚说的, 动量跟位置共同决定其他的力学物理量. 06/24 01:39
109F：→ Muscovy: 至於能不能用超维空间的旋转去想像它? 这个我就不知. 06/24 01:39
110F：→ jun707: 再次感谢M大解决我的疑惑 我今天真的受益匪浅呀 06/24 01:42
111F：→ jun707: 我再好好读书好好消化一下 06/24 01:43
112F：推 Muscovy: 不客气, 你加油. 06/24 01:43
113F：→ maplefff: 你应该先回到古典的波动力学和线性代数会比较好想像 06/24 02:39
114F：→ maplefff: 当你想要描述一个波的当前震幅你会把它投影到x-space 06/24 02:43
115F：推 maplefff: 当你想要描述他的频率你会把波投影到k-space, 06/24 02:45
116F：→ maplefff: why? 因为这些space的基底彼此正交，而且是你想要得到 06/24 02:45
117F：→ maplefff: 物理量的operator的eigenstate, 数学上你必须这麽做 06/24 02:46
118F：→ maplefff: 你才能得到你想要的物理量。 06/24 02:47
119F：→ maplefff: 这里波就是一个态向量，一个抽象物理实体 06/24 02:49
120F：→ maplefff: 当你使用不同的基底，它就展现出不同的特性。 06/24 02:49
121F：→ maplefff: 但是它们都是同一个波(态向量, 物理实体)的投影 06/24 02:50
122F：→ maplefff: 彼此之间透过傅立叶转换得到 06/24 02:52
124F：推 maplefff: 你可能还是很想问:所以，到底state vector到底是什麽 06/24 03:11
125F：→ maplefff: 它就是可以在某个space产生投影(物理量)的object 06/24 03:13
126F：→ maplefff: 一个我们想像出来，并认为它就在那里的object 06/24 03:17
127F：→ maplefff: 纵使我们永远都只能观测到它的投影 06/24 03:18
128F：推 zealeliot: 两位M大可否回篇文章来解说，看讨论很有收获，虽然我离 06/24 10:27
129F：→ zealeliot: 量力很久了XD。 06/24 10:27
130F：推 Muscovy: 下一篇讲得很赞啊... 看下篇 Sea 兄的解释也很不错. :D 06/24 19:20
131F：推 ray938828: 把傅立叶级数跟积分读好再读量物 保证学很快 07/05 08:50