作者keyesleo (以前曾經很帥)
看板Physics
標題[問題] 問一個求簡諧運動，波函數能量的問題
時間Fri Mar 1 23:28:41 2019
這個問題，很久以前我就有了疑問，但一直沒解決，今天又突然想到，因此希望高手能幫我解答一下
處理位能=1/2 mxw^2的簡諧問題時
我們引入a+，a- 這兩個operator
可推出a+a-和homitonian 的關係，且得知對於每個波函數的解，用a+和a-作用後，得到的eigenvale差一個h(bar)w
接著，我們引入一個條件，就是(a-)f0=0，其中f0是我們設定的基態，並求解f0，得到一基態波函數。
我的問題就在這了
首先，這個（a-)f0=0，等式右邊設為0，很顯然不是指希望它對應的homitonian 的eigenvalue為0，（因按照a-的規律，基態能量再下去應是-1/2h(bar)w)，
此0應是指，經a-作用後的波函數為0。
這樣作為一個邊界條件，我可以接受。
但我不能理解的是，若存在波函數解g0，使得
（a-)g0 = 一個無法被正規化的波函數，
一個無法被正規化的波函數，其充要條件就是其能量的eigenvalue ，小於此位能井的最低位能！
那為何我們不能就直接取g0為基態，而將(a-)g0視為無法被正規化而直接捨棄？
有人一定會跟我說，上方的(a-)f0=0是為了滿足邊界條件，但我仔細想想也覺得怪怪的
因為如果將這個0用a+作用一次，它還是0，一樣無法回復到基態波函數，所以要用這個0產生其他的eigenstate 根本不行，意思表它似乎也不能稱作邊界條件。
還是這樣的條件，是由（實驗）所（湊）出來的？
有高手能幫忙一下嗎？
謝謝
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1F：→ keyesleo: 還有(a-)f0=0，不大可能是為了要設定滿足再下一階的能 03/01 23:45
2F：→ keyesleo: 量為0，因為按照a-的作用，再下去的能量會是-1/2h(bar) 03/01 23:45
3F：→ keyesleo: w 03/01 23:45
4F：推 Vulpix: 首先，a^-並不是可觀測量，你應該已經知道的是 03/02 00:53
5F：→ Vulpix: H = (a^+)(a^-)+0.5(h^bar)ω 03/02 00:54
6F：→ Vulpix: H = (a^-)(a^+)+0.5(h^bar)ω 更正一下 03/02 00:56
7F：→ Vulpix: 你也說了 H(a^-)f_0 = -0.5(h^bar)ωf_0 03/02 00:57
8F：→ Vulpix: 但負能量是不允許的，那 state space 裡面還有沒有不會引 03/02 00:58
9F：→ Vulpix: 起這個矛盾的 state？剛好有一個不算 state 的 0。 03/02 00:59
10F：→ Vulpix: 至於那個 g_0，他就不是一個可以存在的 state 了，怎麼會 03/02 01:01
11F：→ Vulpix: 覺得他能當基態用呢，對吧？ 03/02 01:01
12F：推 wohtp: 補充一下不可以有負能量的原因: 03/02 01:38
13F：→ wohtp: 係數什麼不看，基本上 H ~ p^2 + x^2 03/02 01:39
14F：→ wohtp: 任何 |psi> 夾 H 就等於 | x|psi > |^2 + | p|psi > |^2 03/02 01:42
15F：→ wohtp: 如果你要求整個Hilbert space都是normalizable，那能量一定 03/02 01:44
16F：→ wohtp: 是正的 03/02 01:44
17F：推 wohtp: 所以a-作用在eigenstate上面必須遲早要停下來 03/02 01:48
18F：→ wohtp: 嚴格說來，這個代數方法沒有證明eigenstate的存在性，只證 03/02 01:53
19F：→ wohtp: 明了若eigenstate存在就一定要排成那個spectrum 03/02 01:53
20F：→ wohtp: 但是你把薛丁格真的寫下來，知道PDE一定有解，就結案了 03/02 01:55
21F：→ keyesleo: 謝謝兩位這樣講，我能有直觀的了解，但我還是有些納悶 03/02 10:36
22F：→ keyesleo: ，有沒有比較數學定理化的敘述...例如0這個state，是要 03/02 10:36
23F：→ keyesleo: 視為邊界條件嗎... 03/02 10:36
24F：→ keyesleo: 我最後的推文就當我沒問好了，我再想想 03/02 18:20
25F：→ wohtp: 我以為我的說法很公理了耶... 03/02 21:58
26F：→ wohtp: 1. 如果Hilbert space都是normalizable，則energy 03/02 21:59
27F：→ wohtp: eigenvalues are strictly positive 03/02 21:59
28F：→ wohtp: （如果eigenstate和eigenvalue存在） 03/02 22:00
29F：→ wohtp: 2. a- 連續作用在任意eigenstate上面會把能量越減越低終於 03/02 22:01
30F：→ wohtp: 變成負的，於是和 1 矛盾。 03/02 22:01
31F：→ wohtp: 3. 唯一解決矛盾的方法就是有個 |0 > 03/02 22:02
32F：→ wohtp: 要嘛整個eigensystem通通不存在，不然一定要符合1, 2, 3 03/02 22:04
33F：→ wohtp: |0>不是外加的邊界條件。如果整個理論要數學上自洽就一定要 03/02 22:05
34F：→ wohtp: 從|0>開始。 03/02 22:05
35F：→ keyesleo: 好，謝謝 03/02 22:23
36F：推 Khatru: 可以看Quantum Theory for 03/02 22:34
37F：→ Khatru: Mathematicians 用代數解那邊寫的滿詳細 03/02 22:35