作者keyesleo (以前曾经很帅)
看板Physics
标题[问题] 问一个求简谐运动，波函数能量的问题
时间Fri Mar 1 23:28:41 2019
这个问题，很久以前我就有了疑问，但一直没解决，今天又突然想到，因此希望高手能帮我解答一下
处理位能=1/2 mxw^2的简谐问题时
我们引入a+，a- 这两个operator
可推出a+a-和homitonian 的关系，且得知对於每个波函数的解，用a+和a-作用後，得到的eigenvale差一个h(bar)w
接着，我们引入一个条件，就是(a-)f0=0，其中f0是我们设定的基态，并求解f0，得到一基态波函数。
我的问题就在这了
首先，这个（a-)f0=0，等式右边设为0，很显然不是指希望它对应的homitonian 的eigenvalue为0，（因按照a-的规律，基态能量再下去应是-1/2h(bar)w)，
此0应是指，经a-作用後的波函数为0。
这样作为一个边界条件，我可以接受。
但我不能理解的是，若存在波函数解g0，使得
（a-)g0 = 一个无法被正规化的波函数，
一个无法被正规化的波函数，其充要条件就是其能量的eigenvalue ，小於此位能井的最低位能！
那为何我们不能就直接取g0为基态，而将(a-)g0视为无法被正规化而直接舍弃？
有人一定会跟我说，上方的(a-)f0=0是为了满足边界条件，但我仔细想想也觉得怪怪的
因为如果将这个0用a+作用一次，它还是0，一样无法回复到基态波函数，所以要用这个0产生其他的eigenstate 根本不行，意思表它似乎也不能称作边界条件。
还是这样的条件，是由（实验）所（凑）出来的？
有高手能帮忙一下吗？
谢谢
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1F：→ keyesleo: 还有(a-)f0=0，不大可能是为了要设定满足再下一阶的能 03/01 23:45
2F：→ keyesleo: 量为0，因为按照a-的作用，再下去的能量会是-1/2h(bar) 03/01 23:45
3F：→ keyesleo: w 03/01 23:45
4F：推 Vulpix: 首先，a^-并不是可观测量，你应该已经知道的是 03/02 00:53
5F：→ Vulpix: H = (a^+)(a^-)+0.5(h^bar)ω 03/02 00:54
6F：→ Vulpix: H = (a^-)(a^+)+0.5(h^bar)ω 更正一下 03/02 00:56
7F：→ Vulpix: 你也说了 H(a^-)f_0 = -0.5(h^bar)ωf_0 03/02 00:57
8F：→ Vulpix: 但负能量是不允许的，那 state space 里面还有没有不会引 03/02 00:58
9F：→ Vulpix: 起这个矛盾的 state？刚好有一个不算 state 的 0。 03/02 00:59
10F：→ Vulpix: 至於那个 g_0，他就不是一个可以存在的 state 了，怎麽会 03/02 01:01
11F：→ Vulpix: 觉得他能当基态用呢，对吧？ 03/02 01:01
12F：推 wohtp: 补充一下不可以有负能量的原因: 03/02 01:38
13F：→ wohtp: 系数什麽不看，基本上 H ~ p^2 + x^2 03/02 01:39
14F：→ wohtp: 任何 |psi> 夹 H 就等於 | x|psi > |^2 + | p|psi > |^2 03/02 01:42
15F：→ wohtp: 如果你要求整个Hilbert space都是normalizable，那能量一定 03/02 01:44
16F：→ wohtp: 是正的 03/02 01:44
17F：推 wohtp: 所以a-作用在eigenstate上面必须迟早要停下来 03/02 01:48
18F：→ wohtp: 严格说来，这个代数方法没有证明eigenstate的存在性，只证 03/02 01:53
19F：→ wohtp: 明了若eigenstate存在就一定要排成那个spectrum 03/02 01:53
20F：→ wohtp: 但是你把薛丁格真的写下来，知道PDE一定有解，就结案了 03/02 01:55
21F：→ keyesleo: 谢谢两位这样讲，我能有直观的了解，但我还是有些纳闷 03/02 10:36
22F：→ keyesleo: ，有没有比较数学定理化的叙述...例如0这个state，是要 03/02 10:36
23F：→ keyesleo: 视为边界条件吗... 03/02 10:36
24F：→ keyesleo: 我最後的推文就当我没问好了，我再想想 03/02 18:20
25F：→ wohtp: 我以为我的说法很公理了耶... 03/02 21:58
26F：→ wohtp: 1. 如果Hilbert space都是normalizable，则energy 03/02 21:59
27F：→ wohtp: eigenvalues are strictly positive 03/02 21:59
28F：→ wohtp: （如果eigenstate和eigenvalue存在） 03/02 22:00
29F：→ wohtp: 2. a- 连续作用在任意eigenstate上面会把能量越减越低终於 03/02 22:01
30F：→ wohtp: 变成负的，於是和 1 矛盾。 03/02 22:01
31F：→ wohtp: 3. 唯一解决矛盾的方法就是有个 |0 > 03/02 22:02
32F：→ wohtp: 要嘛整个eigensystem通通不存在，不然一定要符合1, 2, 3 03/02 22:04
33F：→ wohtp: |0>不是外加的边界条件。如果整个理论要数学上自洽就一定要 03/02 22:05
34F：→ wohtp: 从|0>开始。 03/02 22:05
35F：→ keyesleo: 好，谢谢 03/02 22:23
36F：推 Khatru: 可以看Quantum Theory for 03/02 22:34
37F：→ Khatru: Mathematicians 用代数解那边写的满详细 03/02 22:35