※ 引述《kuan87 (87kuan)》之銘言： : 小弟數學系 : 最近對分析力學有點興趣 : 我只知道變分是想找這個函數 : L(x,f(x),f'(x))的積分在某個f(x)會有極值 : 以最速下降為例 : 我們是要找空間中一點落到另一點所需最短的時間T的那條路徑 : 我的問題是 拉格朗日量L=T-V : 為什麼要這樣定義 : 他積分後的極值意義又是什麼 : ----- : Sent from JPTT on my HTC_M10f. 月經題,重貼自己N年前寫的老文,希望有所幫助. =============== 個人心得,不精確的解釋,不是教科書上會出現的說法,請自行驗證: 1. action = 廣義動量所對應的勢 S. ( 因為有p=grad(S) ) 2. 粒子在位形空間運動,會對這個勢產生擾動. 好比一隻魚在一團膠水 中游泳一樣.這個過程導致S會有時變. 該時變遵守Hamilton-Jacobian 方程. 3.由於在不同的座標系下看S,會看到不同的時變率,我們可以定義: 跟著粒子運動,所看見的勢的時變率就是拉氏量 L (因為L=ds/dt) 站在一旁不動,所看見的勢的時變率就是哈氏量 -H (因為H=-ps/pt) 4.怎麼理解粒子要走對S泛函微分為極值的路線? 把邏輯反過來想,對一個已知L跟H的系統,我們該有怎樣的S? 這就必須 要求 ds/dt=L, ps/pt=-H. 把兩式聯繫起來,我們有: L-pq'=-H ,把左式通通用s代換掉,就會發現,原來就是在對S作泛函微分! 所以目的是求S,但是對S的泛函微分剛好會跑出L跟H,所以可以反過來說, S就是對L求泛函積分. 總結: 邏輯上,我們設對每個系統都存在一個基本量S,並假設這個S滿足H-J 方程.則古典力學已推導完畢. 但實務上,S寫不下來,但是S在不同座 標下的時變率,也就是對S取泛函微分後產生的兩個參數,H,L可以很輕 易的寫下來. 因此實務上,我們是先寫下H,L,然後積分反求回S.這就 是古典力學. 從這觀點來看,就無所謂對L求泛函極 附註: 所以若把S視為基本量,就不要在問為什麼要對L積分取action了. 從這觀點來看,就無所謂對L求泛函極值的觀念.L不是基本量,S才是, 但是S我們不會寫,只好先寫下它的泛函微分L,然後透過對H-J方程積 分反求回S. 導致看起來好像是在求泛函極值的問題,但那只是因為 從一開始我們就不會寫S,只會寫S的泛函微分L造成的. 所以不是我們為什麼要把L的積分叫作S,而是我們一開始就把S的微分 叫作L. 從L,求S. S是什麼? 廣義動量的勢! 有S則萬物可解. 從這個 邏輯出發,就無所謂看不懂積分的意義了.因為積分在這個邏輯下只是 過程,不是目的. 打完收工.... (再次聲明,個人心得,純分享,不敢保證正確無誤,請自行衡量服用.至少我當 年念古典力學的時候是這樣來理解action的.) -- ★人生中最溫暖的夏天是在紐約的冬天★ --

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