※ 引述《kuan87 (87kuan)》之铭言： : 小弟数学系 : 最近对分析力学有点兴趣 : 我只知道变分是想找这个函数 : L(x,f(x),f'(x))的积分在某个f(x)会有极值 : 以最速下降为例 : 我们是要找空间中一点落到另一点所需最短的时间T的那条路径 : 我的问题是 拉格朗日量L=T-V : 为什麽要这样定义 : 他积分後的极值意义又是什麽 : ----- : Sent from JPTT on my HTC_M10f. 月经题,重贴自己N年前写的老文,希望有所帮助. =============== 个人心得,不精确的解释,不是教科书上会出现的说法,请自行验证: 1. action = 广义动量所对应的势 S. ( 因为有p=grad(S) ) 2. 粒子在位形空间运动,会对这个势产生扰动. 好比一只鱼在一团胶水 中游泳一样.这个过程导致S会有时变. 该时变遵守Hamilton-Jacobian 方程. 3.由於在不同的座标系下看S,会看到不同的时变率,我们可以定义: 跟着粒子运动,所看见的势的时变率就是拉氏量 L (因为L=ds/dt) 站在一旁不动,所看见的势的时变率就是哈氏量 -H (因为H=-ps/pt) 4.怎麽理解粒子要走对S泛函微分为极值的路线? 把逻辑反过来想,对一个已知L跟H的系统,我们该有怎样的S? 这就必须 要求 ds/dt=L, ps/pt=-H. 把两式联系起来,我们有: L-pq'=-H ,把左式通通用s代换掉,就会发现,原来就是在对S作泛函微分! 所以目的是求S,但是对S的泛函微分刚好会跑出L跟H,所以可以反过来说, S就是对L求泛函积分. 总结: 逻辑上,我们设对每个系统都存在一个基本量S,并假设这个S满足H-J 方程.则古典力学已推导完毕. 但实务上,S写不下来,但是S在不同座 标下的时变率,也就是对S取泛函微分後产生的两个参数,H,L可以很轻 易的写下来. 因此实务上,我们是先写下H,L,然後积分反求回S.这就 是古典力学. 从这观点来看,就无所谓对L求泛函极 附注: 所以若把S视为基本量,就不要在问为什麽要对L积分取action了. 从这观点来看,就无所谓对L求泛函极值的观念.L不是基本量,S才是, 但是S我们不会写,只好先写下它的泛函微分L,然後透过对H-J方程积 分反求回S. 导致看起来好像是在求泛函极值的问题,但那只是因为 从一开始我们就不会写S,只会写S的泛函微分L造成的. 所以不是我们为什麽要把L的积分叫作S,而是我们一开始就把S的微分 叫作L. 从L,求S. S是什麽? 广义动量的势! 有S则万物可解. 从这个 逻辑出发,就无所谓看不懂积分的意义了.因为积分在这个逻辑下只是 过程,不是目的. 打完收工.... (再次声明,个人心得,纯分享,不敢保证正确无误,请自行衡量服用.至少我当 年念古典力学的时候是这样来理解action的.) -- ★人生中最温暖的夏天是在纽约的冬天★ --

※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc), 来自: 73.66.168.95 ※ 文章网址: https://webptt.com/cn.aspx?n=bbs/Physics/M.1514890886.A.C8F.html ※ 编辑: pipidog (73.66.168.95), 01/02/2018 19:17:33