【出處】(習題或問題的出處) 閱讀流體力學課本後所產生的疑問。 【題目】(題目的文字敘述，如有圖片亦可提供圖片) 1.考慮流體力學中滿足▽‧v=0的2維流體，可以旋度表示，即stream function， 這個地方沒問題， 但是課文又提到如果進一步又加了無黏滯性的條件 => (▽^2)v = 0 利用向量恆等式可得LHS = ▽(▽‧v) - ▽ x (▽ x v) = RHS = 0 =>▽ x (▽ x v) = 0 => 然後說所以▽ x v = 0。 一直想不清楚為什麼最後可以從▽x(▽xv) = 0 => ▽ x v = 0 2.另外一個相關問題問題 也有書本直接假設考慮流體力學中滿足▽‧v=0的2維流體且無旋性▽ x v = 0 我的疑問是根據亥姆霍茲定理，一個向量v可以表示成-▽φ + ▽ x A 如果已經滿足▽‧v=0，v將沒有-▽φ的部分， 按照定理v = ▽ x A 但是因為無旋性=> v 又可表示成 -▽φ， 這不就上面說的滿足▽‧v=0就沒有-▽φ部份矛盾 這是否又表示無旋性和無散度不能夠同時滿足？否則v就只能是nontrivial的向量場？ 【瓶頸】(解題瓶頸或思考脈絡，請盡量詳述以利回答者知道要從何處講解指導) (正確示範：我算出來的答案好像不太對，這是我的計算過程，哪裡出問題?) 我已經將我的思路敘述在題目中， 懇請強者幫忙回答， 感謝！ --

※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 61.56.10.112 ※ 文章網址: https://webptt.com/m.aspx?n=bbs/Physics/M.1513920015.A.91F.html 納維爾-史托克方程黏滯力項是ν▽^2 v 所以無黏滯力=> ▽^2 v=0 我知道你說的是化成無因次方程式，黏滯力項係數~1/Re# 書本是說ν▽^2 v = 0，不是ν=0造成的，而是▽^2 v = 0造成的，我也覺得好怪 書本進一步說▽^2 v = 0 = ▽(▽‧v) - ▽ x (▽ x v) = 0 - ▽ x (▽ x v) => ▽ x (▽ x v) = 0 及 ▽ x v = 0 ^^^^^^^^^^ 然後書本就引入位勢流， 我想知道▽ x (▽ x v) = 0是靠什麼條件得到curl(v)=0? 這是一本叫做雲物理的書，我懷疑作者不懂隨便亂寫。 其他流體力學如Fox是直接假設▽‧v = 0和人為限制非旋性流場的條件， 並沒有講到為何是非旋性 我可能敘述沒有很清楚，我的意思是 從v = -▽φ + ▽ x A為出發點， 因為▽‧v = 0 => v = ▽ x A，等同-▽φ=0 另一方面，無旋性流體的條件▽ x v = 0= > v = -▽φ，等同▽ x A = 0 ^^^^^^^^因為前已滿足▽‧v = 0 =>▽‧v = 0=>v = -▽φ = 0 所以v = 0? 兩者不就互相牴觸？ 除非v = 0或常向量trivial的情況? ※ 編輯: Lanjaja (61.56.10.112), 12/22/2017 17:27:38 請問K大如果▽‧v = 0的話， 如何保證一定存在一個gradient potentialφ使得v = -▽φ？ 從v = -▽φ + ▽ x A為出發點，並沒有保證存在v = -▽φ 如何能說有個東西叫gradient potential？ 只有在v可以表示成-▽φ才稱φ為gradient potential 我只知道▽‧v = 0 => 存在vector potential A使得v = ▽ x A 靜電學是▽ x E = 0 => E = -▽V 是curl，不是divergence KB是不是誤會了 沒錯阿，整篇脈絡都是以 ▽ x v = 0 <=> v = -▽φ ▽‧v = 0 <=> v = ▽ x A 為依歸，並沒有KB大指的搞錯 ※ 編輯: Lanjaja (118.165.144.212), 12/22/2017 22:08:15 謝謝V大對於亥姆霍茲定理的註解 其實我在一般書上沒有看過真正嚴謹的限制和假設，所以用在什麼情況也不太確定。 但是文中說的同時滿足▽ x v = 0 = ▽‧v的流場確實有v = (K/r) e_θ的例子， 就是您在推文中所說的harmonic field 所以我才會想把這個定理用來解釋無散且無旋流體的問題上，因而產生這篇疑問。 Fox麥當勞流體力學課本和雲物理學張寶貫著 沒有錯，我也曾經得到v1=v2(= v，這是流體力學課本的內容)這種奇怪結論， 可是如果v1=v2，除了常向量場之外，有可能還有其他場嗎？ 就像我上面的推論： 從v = -▽φ + ▽ x A --(1)出發，假設v滿足前面V大推文中說的假設條件， 因為不可壓縮性:▽‧v = 0，(1)代入 0 = -▽^2 φ 但是我又知道v = ▽ x A --(2)，比較(1)後得-▽φ = 0 --(3) v = ▽ x A，但是將(1)代入▽‧v = 0得-▽^2 φ = 0 另一方面，又因無旋性流體的條件▽ x v = 0，(1)代入 ▽ x(▽ x A) = 0 又因為▽ x v = 0，v可表示成-▽φ --(4)，由(3)得v = -▽φ = 0 by(3) 可是v = c似乎也可以，只是仿上面的過程我得不出來，更別說其他例子， 可以請板上先近幫忙看一下推論的盲點，謝謝 ※ 編輯: Lanjaja (118.165.144.212), 12/22/2017 23:53:58